Аксиомы Вайтмана - Wightman axioms

В физика, то Аксиомы Вайтмана (также называемый Аксиомы Гординга – Вайтмана),^[1][2] названный в честь Ларс Гординг и Артур Вайтман,^[3] являются попыткой математически строгой формулировки квантовая теория поля. Артур Вайтман сформулировал аксиомы в начале 1950-х годов:^[4] но впервые они были опубликованы только в 1964 г.^[5] после Теория рассеяния Хаага – Рюэля^[6][7] подтвердили их значение.

Аксиомы существуют в контексте конструктивная квантовая теория поля, и они призваны обеспечить основу для строгого рассмотрения квантовых полей и строгую основу для используемых пертурбативных методов. Один из Проблемы тысячелетия осознать Аксиомы Вайтмана в случае полей Янга – Миллса..

Обоснование

Одна из основных идей аксиом Вайтмана состоит в том, что существует Гильбертово пространство на котором Группа Пуанкаре действует унитарно. Таким образом реализуются концепции энергии, импульса, углового момента и центра масс (соответствующие ускорениям).

Также существует предположение об устойчивости, которое ограничивает спектр четырехимпульсный к положительному световой конус (и его граница). Однако этого недостаточно для реализации местонахождение. Для этого в аксиомах Вайтмана есть позиционно-зависимые операторы, называемые квантовыми полями, которые образуют ковариантные представления группы Пуанкаре.

Поскольку квантовая теория поля страдает от проблем с ультрафиолетом, значение поля в точке точно не определено. Чтобы обойти это, аксиомы Вайтмана вводят идею размазывания по функция тестирования укротить УФ-расходимости, возникающие даже в теория свободного поля. Поскольку аксиомы имеют дело с неограниченные операторы необходимо указать домены операторов.

Аксиомы Вайтмана ограничивают причинную структуру теории, налагая либо коммутативность, либо антикоммутативность между пространственноподобными разделенными полями.

Они также постулируют существование пуанкаре-инвариантного состояния, называемого вакуум и спрос на него уникален. Более того, аксиомы предполагают, что вакуум является «циклическим», т. Е. Что набор всех векторов, которые могут быть получены путем вычисления в вакууме элементов состояния полиномиальной алгебры, порожденной операторами размытого поля, является плотным подмножеством всего гильбертова Космос.

Наконец, существует примитивное ограничение причинности, которое гласит, что любой многочлен в размытых полях может быть аппроксимирован произвольно точно (т.е. является пределом операторов в слабая топология ) полиномами от размазанных полей по пробным функциям с носителем в открытом множестве в Пространство Минковского причинное замыкание которого есть все пространство Минковского.

Аксиомы

W0 (предположения релятивистской квантовой механики)

Квантовая механика описывается согласно фон Нейман; в частности, чистые состояния задаются лучами, т. е. одномерными подпространствами некоторых отделяемый сложный Гильбертово пространство. В дальнейшем скалярное произведение векторов гильбертова пространства Ψ и Φ будем обозначать через ${\displaystyle \langle \Psi ,\Phi \rangle }$, а норму обозначим через ${\displaystyle \lVert \Psi \rVert }$. Вероятность перехода между двумя чистыми состояниями [Ψ] и [Φ] может быть определена в терминах ненулевых векторных представителей Ψ и Φ, которые должны быть

${\displaystyle P([\Psi ],[\Phi ])={\frac {|\langle \Psi ,\Phi \rangle |^{2}}{\lVert \Psi \rVert ^{2}\lVert \Phi \rVert ^{2}}}}$

и не зависит от того, какие репрезентативные векторы, и Φ, выбраны.

Теория симметрии описана по Вигнеру. Это сделано для того, чтобы воспользоваться успешным описанием релятивистских частиц Юджин Поль Вигнер в его знаменитой статье 1939 года. См. Классификация Вигнера. Вигнер постулировал, что вероятность перехода между состояниями одинакова для всех наблюдателей, связанных преобразованием специальная теория относительности. В более общем плане он считал утверждение, что теория инвариантна относительно группы грамм выражаться через инвариантность вероятности перехода между любыми двумя лучами. Утверждение постулирует, что группа действует на множестве лучей, то есть на проективном пространстве. Позволять (а,L) быть элементом Группа Пуанкаре (неоднородная группа Лоренца). Таким образом, а настоящий Лоренц четырехвекторный представляющий изменение происхождения пространства-времени Икс ↦ Икс − а куда Икс находится в пространстве Минковского M⁴ и L это Преобразование Лоренца, которое можно определить как линейное преобразование четырехмерного пространства-времени, которое сохраняет расстояние Лоренца c²t² - Икс⋅Икс каждого вектора (ct,Икс). Тогда теория инвариантна относительно группы Пуанкаре, если для каждого луча гильбертова пространства и каждого элемента группы (а,L) задан преобразованный луч Ψ (а,L), а вероятность перехода не меняется преобразованием:

${\displaystyle \left\langle \Psi (a,L),\Phi (a,L)\right\rangle =\left\langle \Psi ,\Phi \right\rangle }$

Теорема Вигнера говорит, что при этих условиях преобразования в гильбертовом пространстве являются либо линейными, либо антилинейными операторами (если к тому же они сохраняют норму, то они унитарный или антиунитарные операторы); оператор симметрии на проективном пространстве лучей может быть поднял в основное гильбертово пространство. Это делается для каждого элемента группы (а, L), мы получаем семейство унитарных или антиунитарных операторов U(а, L) на нашем гильбертовом пространстве так, что луч преобразован по формуле (а, L) совпадает с лучом, содержащим U(а, L) ψ. Если ограничиться элементами группы, связанной с тождеством, то антиунитарный случай не возникает.

Позволять (а, L) и (б, M) - два преобразования Пуанкаре, и обозначим их групповое произведение через (а, L).(б,M); из физической интерпретации мы видим, что луч, содержащий U(а, L)[U(б, M) ψ] должен (для любого psi) быть лучом, содержащим U((а, L). (б, M)) ψ (ассоциативность групповой операции). Возвращаясь от лучей к гильбертову пространству, эти два вектора могут отличаться фазой (а не нормой, потому что мы выбираем унитарные операторы), которая может зависеть от двух элементов группы (а, L) и (б, M), т.е. у нас есть не представление группы, а скорее проективное представление. Эту фазу не всегда можно отменить, переопределяя каждый U (a), например, для частиц со спином 1/2. Вигнер показал, что лучшее, что можно получить для группы Пуанкаре, - это

${\displaystyle U(a,L)U(b,M)=\pm U((a,L).(b,M))}$

т.е. фаза кратна ${\displaystyle \pi }$. Для частиц с целочисленным спином (пионы, фотоны, гравитоны ...) можно удалить знак +/- путем дальнейших фазовых переходов, но для представлений с половинным нечетным спином мы не можем, и знак меняется скачкообразно при обходе. любую ось на угол 2π. Однако мы можем построить представление накрывающей группы группы Пуанкаре, называется неоднородная СР (2,C); это имеет элементы (а, А), где, как и раньше, a - четырехмерный вектор, но теперь A - комплексная матрица 2 × 2 с единичным определителем. Обозначим унитарные операторы мы обойдемся U(а, А), и они дают нам непрерывное, унитарное и истинное представление в том, что набор U(а,А) подчиняются групповому закону неоднородной SL (2,C).

Из-за смены знака при повороте на 2π Эрмитовы операторы превращаясь в спин 1/2, 3/2 и т. д., не может быть наблюдаемые. Это отображается как однолистность супервыбор правило: фазы между состояниями со спином 0, 1, 2 и т. д. и состояниями со спином 1/2, 3/2 и т. д. не наблюдаются. Это правило является дополнением к ненаблюдаемости общей фазы вектора состояния. Что касается наблюдаемых и состояний |v), получаем представление U(а, L) из Группа Пуанкаре, на подпространствах целого спина, и U(а, А) неоднородной СР (2,C) на полунечетно-целочисленных подпространствах, который действует согласно следующей интерпретации:

An ансамбль соответствующий U(а, L)|v) следует интерпретировать относительно координат ${\displaystyle x^{\prime }=L^{-1}(x-a)}$ точно так же, как ансамбль, соответствующий |v) интерпретируется относительно координат Икс; и аналогично для нечетных подпространств.

Группа пространственно-временных переводов коммутативный, поэтому операторы можно одновременно диагонализовать. Генераторы этих групп дают нам четыре самосопряженные операторы, ${\displaystyle P_{0},P_{j}}$, j = 1, 2, 3, которые трансформируются под однородной группой как четырехвектор, называемый четырехвектором энергии-импульса.

Вторая часть нулевой аксиомы Вайтмана состоит в том, что представление U(а, А) удовлетворяет спектральному условию - одновременный спектр энергии-импульса содержится в переднем конусе:

${\displaystyle P_{0}\geq 0}$............... ${\displaystyle P_{0}^{2}-P_{j}P_{j}\geq 0.}$

Третья часть аксиомы состоит в том, что существует единственное состояние, представленное лучом в гильбертовом пространстве, которое инвариантно относительно действия группы Пуанкаре. Это называется вакуумом.

W1 (предположения о области определения и непрерывности поля)

Для каждой тестовой функции ж,^{[требуется разъяснение ]} существует набор операторов ${\displaystyle A_{1}(f),\ldots ,A_{n}(f)}$ которые вместе с сопряженными к ним определены на плотном подмножестве гильбертова пространства состояний, содержащем вакуум. Поля А операторно-оценочные умеренные распределения. Гильбертово пространство состояний натянуто на полиномы, действующие в вакууме (условие цикличности).

W2 (закон преобразования поля)

Поля ковариантны под действием Группа Пуанкаре, и они преобразуются согласно некоторому представлению S Группа Лоренца, или SL (2,C) если спин не целое число:

${\displaystyle U(a,L)^{\dagger }A(x)U(a,L)=S(L)A(L^{-1}(x-a)).}$

W3 (локальная коммутативность или микроскопическая причинность)

Если опоры двух полей космический разделены, то поля либо коммутируют, либо антикоммутируют.

Цикличность вакуума и уникальность вакуума иногда рассматриваются отдельно. Кроме того, существует свойство асимптотической полноты - гильбертово пространство состояний натянуто на асимптотические пространства. ${\displaystyle H^{\text{in}}}$ и ${\displaystyle H^{\text{out}}}$, оказавшись при столкновении S матрица. Другое важное свойство теории поля: разрыв в массах чего не требуют аксиомы - этот спектр энергии-импульса имеет промежуток между нулем и некоторым положительным числом.

Последствия аксиом

Из этих аксиом вытекают некоторые общие теоремы:

• CPT теорема - существует общая симметрия относительно изменения четности, обращения частица-античастица и обращения времени (как выясняется, ни одна из этих симметрий не существует в природе)
• Связь между вращение и статистика - поля, которые преобразуются в соответствии с антикоммутацией полуцелого спина, тогда как поля с целым спином коммутируют (аксиома W3). На самом деле эта теорема содержит мелкие технические детали. Это можно исправить с помощью Преобразования Клейна. Видеть парастатистика. Также призраков в BRST.
• Невозможность сверхсветовая коммуникация - если два наблюдателя пространственно разделены, то действия одного наблюдателя (включая измерения и изменения гамильтониана) не влияют на статистику измерений другого наблюдателя.^[8]

Артур Вайтман показал, что ожидаемое значение вакуума распределений, удовлетворяющих определенному набору свойств, следующих из аксиом, достаточно для восстановления теории поля: Теорема восстановления Вайтмана, в том числе наличие состояние вакуума; он не нашел условия на ожидаемые значения вакуума, гарантирующего уникальность вакуума; это условие, свойство кластера, был найден позже Рес Йост, Клаус Хепп, Дэвид Рюэлль и Отмар Штайнманн.

Если в теории есть разрыв в массах, т.е. нет масс между 0 и некоторой константой больше нуля, то ожидание вакуума распределения асимптотически независимы в удаленных регионах.

Теорема Хаага говорит, что не может быть интерактивной картины - что мы не можем использовать Пространство фока невзаимодействующих частиц как гильбертово пространство - в том смысле, что мы будем идентифицировать гильбертовы пространства через полиномы, действующие на вакуум в определенное время.

Связь с другими рамками и концепциями квантовой теории поля

Структура Вайтмана не охватывает состояния с бесконечной энергией, такие как состояния с конечной температурой.

В отличие от локальная квантовая теория поля аксиомы Вайтмана явно ограничивают причинную структуру теории, налагая либо коммутативность, либо антикоммутативность между пространственноподобными разделенными полями, вместо вывода причинной структуры в виде теоремы. Если рассматривать обобщение аксиом Вайтмана на размерности, отличные от 4, этот постулат (анти) коммутативности исключает анйоны и статистика косы в меньших размерах.

Постулат Вайтмана об уникальном состоянии вакуума не обязательно делает аксиомы Вайтмана неподходящими для случая спонтанное нарушение симметрии потому что мы всегда можем ограничиться сектор суперотбора.

Цикличность вакуума, требуемая аксиомами Вайтмана, означает, что они описывают только сектор сверхотбора вакуума; опять же, это не большая потеря общности. Однако это предположение не учитывает состояния с конечной энергией, такие как солитоны, которые не могут быть сгенерированы полиномом полей, размазанных тестовыми функциями, потому что солитон, по крайней мере, с теоретической точки зрения поля, является глобальной структурой, включающей топологические граничные условия на бесконечности.

Фреймворк Вайтмана не охватывает эффективные теории поля потому что нет предела тому, насколько мала поддержка тестовой функции. Т.е. нет отрезать шкала.

Фреймворк Вайтмана также не охватывает калибровочные теории. Даже в абелевых калибровочных теориях традиционные подходы начинаются с «гильбертова пространства» с неопределенной нормой (следовательно, это не совсем гильбертово пространство, которое требует положительно определенной нормы, но, тем не менее, физики называют его гильбертовым пространством) и физических состояний и физических состояний. операторы принадлежат к когомология. Очевидно, что это нигде не рассматривается в структуре Вайтмана. (Однако, как показали Швингер, Христос и Ли, Грибов, Цванцигер, Ван Баал и др., Каноническое квантование калибровочных теорий в кулоновской калибровке возможно с обычным гильбертовым пространством, и это может быть способом заставить их подпадать под применимость систематики аксиом.)

Аксиомы Вайтмана можно перефразировать в терминах состояния, называемого Функционал Вайтмана на Алгебра Борхерса равна тензорной алгебре пространства пробных функций.

Существование теорий, удовлетворяющих аксиомам

Можно обобщить аксиомы Вайтмана на измерения, отличные от 4. В размерностях 2 и 3 были построены взаимодействующие (то есть несвободные) теории, удовлетворяющие этим аксиомам.

В настоящее время нет доказательств того, что аксиомы Вайтмана могут выполняться для взаимодействующих теорий в размерности 4. В частности, Стандартная модель физики элементарных частиц не имеет математически строгих основ. Существует приз в миллион долларов для доказательства того, что аксиомы Вайтмана могут быть выполнены для калибровочные теории, с дополнительным требованием массового разрыва.

Теорема восстановления Остервальдера – Шредера

При определенных технических предположениях было показано, что Евклидово QFT может быть Вращающийся фитилем в QFT Вайтмана. Видеть Теорема Остервальдера – Шредера. Эта теорема является ключевым инструментом для построения взаимодействующих теорий в размерностях 2 и 3, удовлетворяющих аксиомам Вайтмана.

Смотрите также

• Шестая проблема Гильберта
• Локальная квантовая теория поля
• Аксиомы Хаага-Кастлера

Рекомендации

1. «Шестая проблема Гильберта». Энциклопедия математики. Получено 14 июля 2014.
2. "Lars Gårding - Sydsvenskan". Sydsvenskan.se. Получено 14 июля 2014.
3. А. С. Вайтман, Л. Гординг, "Поля как операторнозначные распределения в релятивистской квантовой теории", Аркив ф. Фысик, Кунгл. Svenska Vetenskapsak. 28, 129–189 (1964).
4. Аксиомы Вайтмана в nLab
5. Р. Ф. Стритер и А. С. Вайтман, PCT, спин, статистика и все такое, Princeton University Press, Landmarks in Mathematics and Physics, 2000 (1-е изд., Нью-Йорк, Бенджамин, 1964).
6. Р. Хааг (1958), «Квантовые теории поля с противоположными частицами и асимптотическими условиями». Phys. Ред. 112.
7. Д. Рюэль (1962), "Об асимптотическом условии в квантовой теории поля", Helv. Phys. Acta 35.
8. Eberhard, Phillippe H .; Росс, Рональд Р. (1989), «Квантовая теория поля не может обеспечить связь быстрее света», Основы письма по физике, 2 (2): 127–149, Bibcode:1989ФОФЛ ... 2..127Е, Дои:10.1007 / bf00696109

дальнейшее чтение

• Артур Вайтман, «Шестая проблема Гильберта: Математическое рассмотрение аксиом физики», в Ф. Э. Браудере (ред.): Vol. 28 (часть 1) из Proc. Symp. Чистая математика., Амер. Математика. Soc., 1976, стр. 241–268.
• Рес Йост, Общая теория квантованных полей, Амер. Математика. Soc., 1965.