Причинные фермионные системы - Causal fermion systems - Wikipedia

Теория причинные фермионные системы это подход к описанию фундаментальная физика. Обеспечивает унификацию слабый, то сильный и электромагнитные силы с сила тяжести на уровне классическая теория поля.^[1][2] Более того, это дает квантовая механика как предельный случай и обнаружил тесные связи с квантовая теория поля.^[3][4] Таким образом, он является кандидатом в единую физическую теорию. Вместо того, чтобы вводить физические объекты в уже существующие пространство-время многообразие общая концепция состоит в том, чтобы вывести пространство-время, а также все объекты в нем как вторичные объекты из структур лежащей в основе системы причинных фермионов. Эта концепция также позволяет обобщить понятия дифференциальная геометрия к негладкой настройке.^[5][6] В частности, можно описать ситуации, когда пространство-время больше не имеет структуры многообразия в микроскопическом масштабе (как решетка пространства-времени или другие дискретные или непрерывные структуры на Планковский масштаб ). В результате теория причинных фермионных систем предлагает квантовая геометрия и подход к квантовая гравитация.

Причинные фермионные системы были введены Феликс Финстер и сотрудники.

Мотивация и физическая концепция

Физической отправной точкой является тот факт, что Уравнение Дирака в Пространство Минковского имеет решения с отрицательной энергией, которые обычно связаны с Море Дирака. Серьезно относясь к концепции, согласно которой состояния моря Дирака являются неотъемлемой частью физической системы, можно обнаружить, что многие структуры (например, причинный и метрика структур, а также бозонных полей) могут быть восстановлены из волновых функций состояний моря. Это приводит к идее, что волновые функции всех занятых состояний (включая состояния моря) следует рассматривать как основные физические объекты, и что все структуры в пространстве-времени возникают в результате коллективного взаимодействия состояний моря друг с другом и с дополнительными частицами и "дыры" в море. Математическая реализация этой картины приводит к структуре причинных фермионных систем.

Точнее, соответствие между вышеуказанной физической ситуацией и математической структурой получается следующим образом. Все оккупированные государства охватывают Гильбертово пространство волновых функций в пространстве Минковского ${\displaystyle {\hat {M}}}$. Наблюдаемая информация о распределении волновых функций в пространстве-времени закодирована в локальные корреляционные операторы ${\displaystyle F(x),x\in {\hat {M}},}$ который в ортонормированный базис ${\displaystyle (\psi _{i})}$ имеют матричное представление

${\displaystyle {\big (}F(x){\big )}_{j}^{i}=-{\overline {\psi _{i}(x)}}\psi _{j}(x)}$

(куда ${\displaystyle {\overline {\psi }}}$ это сопряженный спинор Для превращения волновых функций в основные физические объекты рассматривается множество ${\displaystyle \{F(x)\,|\,x\in {\hat {M}}\}}$ как набор линейные операторы на Абстрактные Гильбертово пространство. Все структуры пространства Минковского не учитываются, за исключением меры объема ${\displaystyle d^{4}x}$, которая преобразуется в соответствующий мера на линейных операторах ( «универсальная мера»). Получающиеся структуры, а именно гильбертово пространство вместе с мерой на линейных операторах на нем, являются основными ингредиентами системы причинных фермионов.

Вышеупомянутая конструкция также может быть выполнена в более общие пространства-времени. Более того, принимая абстрактное определение за отправную точку, причинные фермионные системы позволяют описывать обобщенные «квантовые пространства-времени». Физическая картина состоит в том, что одна причинная фермионная система описывает пространство-время вместе со всеми структурами и объектами в нем (такими как причинные и метрические структуры, волновые функции и квантовые поля). Чтобы выделить физически допустимые причинные фермионные системы, необходимо сформулировать физические уравнения. По аналогии с Лагранжиан формулировка классическая теория поля, физические уравнения для причинных фермионных систем формулируются с помощью вариационного принципа, так называемого принцип причинного действия. Поскольку человек работает с разными базовыми объектами, принцип причинного действия имеет новую математическую структуру, в которой минимизируется положительное действие при вариациях универсальной меры. Связь с обычными физическими уравнениями получается в некотором предельном случае ( континуальный предел), в котором взаимодействие эффективно описывается формулой калибровочные поля связаны с частицами и античастицы, тогда как море Дирака больше не видно.

Общая математическая постановка

В этом разделе вводится математический аппарат причинных фермионных систем.

Определение причинной фермионной системы

А причинная фермионная система размерности вращения ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ это тройка ${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {F}},\rho )}$ куда

• ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle .|.\rangle _{\mathcal {H}})}$ это сложный Гильбертово пространство.
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ это набор всех самосопряженный линейные операторы конечный ранг на ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ который (считая множественность ) иметь не более ${\displaystyle n}$ положительный и самое большее ${\displaystyle n}$ отрицательные собственные значения.
• ${\displaystyle \rho }$ это измерять ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Мера ${\displaystyle \rho }$ называется универсальная мера.

Как будет показано ниже, это определение достаточно богато, чтобы кодировать аналоги математических структур, необходимых для формулирования физических теорий. В частности, причинная фермионная система порождает пространство-время вместе с дополнительными структурами, которые обобщают такие объекты, как спиноры, то метрика и кривизна. Кроме того, он включает квантовые объекты, такие как волновые функции и фермионный Состояние Фока.^[7]

Принцип причинного действия

Вдохновленная лангранжианской формулировкой классической теории поля, динамика причинной фермионной системы описывается вариационным принципом, определяемым следующим образом.

Учитывая гильбертово пространство ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle .|.\rangle _{\mathcal {H}})}$ и размер вращения ${\displaystyle n}$, набор ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ определяется, как указано выше. Тогда для любого ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {F}}}$, продукт ${\displaystyle xy}$ является оператором ранга не выше ${\displaystyle 2n}$. Это не обязательно самосопряженное, потому что в целом ${\displaystyle (xy)^{*}=yx\neq xy}$. Обозначим нетривиальные собственные значения оператора ${\displaystyle xy}$ (считая алгебраические кратности ) к

${\displaystyle \lambda _{1}^{xy},\ldots ,\lambda _{2n}^{xy}\in {\mathbb {C} }.}$

Более того, спектральный вес ${\displaystyle |.|}$ определяется

${\displaystyle |xy|=\sum _{i=1}^{2n}|\lambda _{i}^{xy}|\quad {\text{and}}\quad {\big |}(xy)^{2}{\big |}=\sum _{i=1}^{2n}|\lambda _{i}^{xy}|^{2}{\,}.}$

В Лагранжиан вводится

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,y)={\big |}(xy)^{2}{\big |}-{\frac {1}{2n}}{\,}|xy|^{2}={\frac {1}{4n}}\sum _{i,j=1}^{2n}{\big (}|\lambda _{i}^{xy}|-|\lambda _{j}^{xy}|{\big )}^{2}\geq 0{\,}.}$

В причинное действие определяется

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\iint _{{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}}{\mathcal {L}}(x,y){\,}d\rho (x){\,}d\rho (y){\,}.}$

В принцип причинного действия сводить к минимуму ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ при вариациях ${\displaystyle \rho }$ в классе (положительных) Борелевские меры при следующих ограничениях:

• Ограничение ограниченности: ${\displaystyle \iint _{{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}}|xy|^{2}{\,}d\rho (x){\,}d\rho (y)\leq C}$ для некоторой положительной постоянной ${\displaystyle C}$.
• Ограничение трассировки: ${\displaystyle \;\;\;\int _{\mathcal {F}}{\text{tr}}(x){\,}d\rho (x)}$ остается фиксированным.
• Общий объем ${\displaystyle \rho ({\mathcal {F}})}$ сохраняется.

Здесь на ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathrm {L} }({\mathcal {H}})}$ один считает индуцированная топология посредством ${\displaystyle \sup }$-норма на ограниченных линейных операторах на ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Ограничения предотвращают использование тривиальных минимизаторов и гарантируют существование при условии, что ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ конечномерна.^[8]Этот вариационный принцип имеет смысл и в том случае, если общий объем ${\displaystyle \rho ({\mathcal {F}})}$ бесконечно, если рассматривать вариации ${\displaystyle \delta \rho }$ из ограниченная вариация с ${\displaystyle (\delta \rho )({\mathcal {F}})=0}$.

Собственные структуры

В современных физических теориях слово пространство-время относится к Лоренцево многообразие ${\displaystyle (M,g)}$. Это означает, что пространство-время набор точек, обогащенных топологическими и геометрическими структурами. В контексте причинных фермионных систем пространство-время не обязательно должно иметь многообразную структуру. Вместо этого пространство-время ${\displaystyle M}$ - это набор операторов в гильбертовом пространстве (подмножество ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$). Это подразумевает дополнительные внутренние структуры, которые соответствуют и обобщают обычные объекты на пространственно-временном многообразии.

Для причинно-фермионной системы ${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {F}},\rho )}$, мы определяем пространство-время ${\displaystyle M}$ как поддерживать универсальной меры,

${\displaystyle M:={\text{supp}}\,\rho \subset {\mathcal {F}}.}$

С индуцированная топология к ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$,пространство-время ${\displaystyle M}$ это топологическое пространство.

Причинная структура

За ${\displaystyle x,y\in M}$обозначим нетривиальные собственные значения оператора ${\displaystyle xy}$ (считая алгебраические кратности ) к ${\displaystyle \lambda _{1}^{xy},\ldots ,\lambda _{2n}^{xy}\in {\mathbb {C} }}$.Точки ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ определены как космический разделены, если все ${\displaystyle \lambda _{j}^{xy}}$ имеют одинаковое абсолютное значение. Они есть подобный времени разделены, если ${\displaystyle \lambda _{j}^{xy}}$ не все имеют одинаковую абсолютную ценность и реальны. Во всех остальных случаях баллы ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ находятся легкий разделены.

Это понятие причинности согласуется с "причинностью" вышеупомянутого причинного действия в том смысле, что если две точки пространства-времени ${\displaystyle x,y\in M}$ пространственно разделены, то лагранжиан ${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,y)}$ исчезает. Это соответствует физическому представлению о причинность что пространственно разделенные точки пространства-времени не взаимодействуют. Эта каузальная структура является причиной понятия «каузальный» в каузальной фермионной системе и каузальном действии.

Позволять ${\displaystyle \pi _{x}}$ обозначим ортогональную проекцию на подпространство ${\displaystyle S_{x}:=x({\mathcal {H}})\subset {\mathcal {H}}}$. Тогда знак функционала

${\displaystyle i{\text{Tr}}{\big (}x\,y\,\pi _{x}\,\pi _{y}-y\,x\,\pi _{y}\,\pi _{x})}$

отличает будущее от прошлый. В отличие от структуры частично заказанный набор, отношение «лежит в будущем» вообще не транзитивно. Но в типичных примерах он транзитивен в макроскопическом масштабе.^[5][6]

Спиноры и волновые функции

Для каждого ${\displaystyle x\in M}$ то пространство вращения определяется ${\displaystyle S_{x}=x({\mathcal {H}})}$; это подпространство ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ размер не более ${\displaystyle 2n}$. В спиновое скалярное произведение ${\displaystyle {\prec }\cdot |\cdot {\succ }_{x}}$ определяется

${\displaystyle {\prec }u|v{\succ }_{x}=-{\langle }u|xv{\rangle }_{\mathcal {H}}\qquad {\text{for all }}u,v\in S_{x}}$

неопределенный внутренний продукт на ${\displaystyle S_{x}}$ из подпись ${\displaystyle (p,q)}$ с ${\displaystyle p,q\leq n}$.

А волновая функция ${\displaystyle \psi }$ это отображение

${\displaystyle \psi {\,}:{\,}M\rightarrow {\mathcal {H}}\qquad {\text{with}}\qquad \psi (x)\in S_{x}\quad {\text{for all }}x\in M{\,}.}$

О волновых функциях, для которых норма ${\displaystyle {|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}}$ определяется

${\displaystyle {|\!|\!|}\psi {|\!|\!|}^{2}=\int _{M}\left\langle \psi (x){\bigg |}\,|x|\,\psi (x)\right\rangle _{\mathcal {H}}{\,}d\rho (x)}$

конечно (где ${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$ - модуль симметричного оператора ${\displaystyle x}$), можно определить внутренний продукт

${\displaystyle {\mathopen {<}}\psi |\phi {\mathclose {>}}=\int _{M}{\prec }\psi (x)|\phi (x){\succ }_{x}{\,}d\rho (x){\,}.}$

Вместе с топологией, индуцированной нормой ${\displaystyle {|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}}$, получаем Пространство Крейна ${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathopen {<}}\cdot |\cdot {\mathclose {>}})}$.

К любому вектору ${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$ мы можем связать волновую функцию

${\displaystyle \psi ^{u}(x):=\pi _{x}u}$

(куда ${\displaystyle \pi _{x}:{\mathcal {H}}\rightarrow S_{x}}$ снова ортогональная проекция на пространство спинов), что дает начало выделенному семейству волновых функций, называемых волновыми функциями оккупированные государства.

Фермионный проектор

В ядро фермионного проектора ${\displaystyle P(x,y)}$ определяется

${\displaystyle P(x,y)=\pi _{x}\,y|_{S_{y}}{\,}:{\,}S_{y}\rightarrow S_{x}}$

(куда ${\displaystyle \pi _{x}:{\mathcal {H}}\rightarrow S_{x}}$ снова ортогональная проекция на пространство спинов, и ${\displaystyle |_{S_{y}}}$ обозначает ограничение на ${\displaystyle S_{y}}$). В фермионный проектор ${\displaystyle P}$ оператор

${\displaystyle P{\,}:{\,}{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {K}}{\,},\qquad (P\psi )(x)=\int _{M}P(x,y)\,\psi (y)\,d\rho (y){\,},}$

который имеет плотную область определения, заданную всеми векторами ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {K}}}$ удовлетворяющие условиям

${\displaystyle \phi :=\int _{M}x\,\psi (x)\,d\rho (x){\,}\in {\,}{\mathcal {H}}\quad {\text{and}}\quad {|\!|\!|}\phi {|\!|\!|}<\infty {\,}.}$

Как следствие принципа причинного действия ядро ​​фермионного проектора обладает дополнительными нормализующими свойствами^[9] которые оправдывают название проектор.

Соединение и кривизна

Будучи оператором перехода от одного спинового пространства к другому, ядро ​​фермионного проектора задает отношения между разными точками пространства-времени. Этот факт можно использовать для введения спин-соединение

${\displaystyle D_{x,y}\,:\,S_{y}\rightarrow S_{x}\quad {\text{unitary}}\,.}$

Основная идея - взять полярное разложение из ${\displaystyle P(x,y)}$. Конструкция усложняется тем фактом, что спиновая связь должна индуцировать соответствующий метрическое соединение

${\displaystyle \nabla _{x,y}\,:\,T_{y}\rightarrow T_{x}\quad {\text{isometric}}\,,}$

где касательное пространство ${\displaystyle T_{x}}$ является конкретным подпространством линейных операторов на ${\displaystyle S_{x}}$ наделен лоренцевой метрикой. кривизна спина определяется как голономия спинового соединения,

${\displaystyle {\mathfrak {R}}(x,y,z)=D_{x,y}\,D_{y,z}\,D_{z,x}\,:\,S_{x}\rightarrow S_{x}\,.}$

Точно так же метрическая связь порождает метрическая кривизна. Эти геометрические структуры приводят к предложению квантовая геометрия.^[5]

Уравнения Эйлера-Лагранжа и линеаризованные уравнения поля

Минимайзер ${\displaystyle \rho }$ причинного действия удовлетворяет соответствующему Уравнения Эйлера-Лагранжа.^[10] Они заявляют, что функция ${\displaystyle \ell _{\kappa }}$ определяется

${\displaystyle \ell _{\kappa }(x):=\int _{M}{\big (}{\mathcal {L}}_{\kappa }(x,y)+\kappa \,|xy|^{2}{\big )}\,d\rho (y)\,-\,{\mathfrak {s}}}$

(с двумя параметрами Лагранжа ${\displaystyle \kappa }$ и ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$) обращается в нуль и минимально на носителе ${\displaystyle \rho }$,

${\displaystyle \ell _{\kappa }|_{M}\equiv \inf _{x\in {\mathcal {F}}}\ell _{\kappa }(x)=0\,.}$

Для анализа удобно ввести струи ${\displaystyle {\mathfrak {u}}:=(a,u)}$ состоящий из действительной функции ${\displaystyle a}$ на ${\displaystyle M}$ и векторное поле ${\displaystyle u}$ на ${\displaystyle T{\mathcal {F}}}$ вдоль ${\displaystyle M}$, а для обозначения комбинации умножения и производной по направлению через ${\displaystyle \nabla _{\mathfrak {u}}g(x):=a(x)\,g(x)+{\big (}D_{u}g{\big )}(x)}$. Тогда из уравнений Эйлера-Лагранжа следует, что слабые уравнения Эйлера-Лагранжа

${\displaystyle \nabla _{\mathfrak {u}}\ell |_{M}=0}$

держать для любого испытательного самолета ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$.

Семейства решений уравнений Эйлера-Лагранжа бесконечно малы порождаются струей ${\displaystyle {\mathfrak {v}}}$ который удовлетворяет линеаризованные уравнения поля

${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},\Delta {\mathfrak {v}}\rangle |_{M}=0\,,}$

быть довольным для всех тестовых струй ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$, где лапласиан $ Delta $ определяется равенством

${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},\Delta {\mathfrak {v}}\rangle (x):=\nabla _{\mathfrak {u}}{\bigg (}\int _{M}{\big (}\nabla _{1,{\mathfrak {v}}}+\nabla _{2,{\mathfrak {v}}}{\big )}{\mathcal {L}}(x,y)\,d\rho (y)-\nabla _{\mathfrak {v}}{\mathfrak {s}}{\bigg )}\,.}$

Уравнения Эйлера-Лагранжа описывают динамику системы причинных фермионов, тогда как малые возмущения системы описываются линеаризованными уравнениями поля.

Сохраняющиеся интегралы поверхностного слоя

В случае причинных фермионных систем пространственные интегралы выражаются так называемыми интегралы поверхностного слоя.^[9][10][11] В общих чертах интеграл поверхностного слоя представляет собой двойной интеграл вида

${\displaystyle \int _{\Omega }{\bigg (}\int _{M\setminus \Omega }\cdots {\mathcal {L}}(x,y)\,d\rho (y){\bigg )}\,d\rho (x)\,,}$

где одна переменная интегрирована по подмножеству ${\displaystyle \Omega \subset M}$, а другая переменная интегрируется по дополнению ${\displaystyle \Omega }$. Можно выразить обычные законы сохранения заряда, энергии ... через интегралы поверхностного слоя. Соответствующие законы сохранения являются следствием уравнений Эйлера-Лагранжа принципа причинного действия и линеаризованных уравнений поля. Для приложений наиболее важными интегралами поверхностного слоя являются текущий интеграл ${\displaystyle \gamma _{\rho }^{\Omega }({\mathfrak {v}})}$, то симплектическая форма ${\displaystyle \sigma _{\rho }^{\Omega }({\mathfrak {u}},{\mathfrak {v}})}$, то поверхностный слой внутренний продукт ${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {v}}\rangle _{\rho }^{\Omega }}$ и нелинейный интеграл поверхностного слоя ${\displaystyle \gamma ^{\Omega }({\tilde {\rho }},\rho )}$.

Бозонная космическая динамика Фока

Основываясь на законах сохранения для указанных выше интегралов поверхностного слоя, динамика системы причинных фермионов, описываемая уравнениями Эйлера-Лагранжа, соответствующими принципу причинного действия, может быть переписана как линейная, сохраняющая норму динамика на бозонном пространстве Фока, построенном набор решений линеаризованных уравнений поля.^[4] В так называемом голоморфное приближение, временная эволюция учитывает сложную структуру, приводя к унитарной временной эволюции в бозонном фоковском пространстве.

Фермионное состояние Фока

Если ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ имеет конечную размерность ${\displaystyle f}$, выбирая ортонормированный базис ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{f}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ и взяв произведение клина соответствующих волновых функций

${\displaystyle {\big (}\psi ^{u_{1}}\wedge \cdots \wedge \psi ^{u_{f}}{\big )}(x_{1},\ldots ,x_{f})}$

дает состояние ${\displaystyle f}$-частица фермионная Пространство фока. Из-за полной антисимметризации это состояние зависит от выбора основы ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ только по фазовому коэффициенту.^[12] Это соответствие объясняет, почему векторы в пространстве частиц следует интерпретировать как фермионы. Это также мотивирует название причинной фермион система.

Основные физические принципы

Причинные фермионные системы особым образом включают в себя несколько физических принципов:

• А принцип локальной калибровки: Чтобы представить волновые функции в компонентах, выбираются базы спиновых пространств. Обозначая подпись скалярного произведения спина при ${\displaystyle x}$ к ${\displaystyle ({\mathfrak {p}}_{x},{\mathfrak {q}}_{x})}$, псевдоортонормированный базис ${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{\alpha }(x))_{\alpha =1,\ldots ,{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}}$ из ${\displaystyle S_{x}}$ дан кем-то

${\displaystyle {\prec }{\mathfrak {e}}_{\alpha }|{\mathfrak {e}}_{\beta }{\succ }=s_{\alpha }{\,}\delta _{\alpha \beta }\quad {\text{with}}\quad s_{1},\ldots ,s_{{\mathfrak {p}}_{x}}=1,\;\;s_{{\mathfrak {p}}_{x}+1},\ldots ,s_{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}=-1{\,}.}$

Тогда волновая функция ${\displaystyle \psi }$ могут быть представлены с помощью компонентных функций,

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{\alpha =1}^{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}\psi ^{\alpha }(x){\,}{\mathfrak {e}}_{\alpha }(x){\,}.}$

Свобода выбора баз ${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{\alpha }(x))}$ независимо в каждой точке пространства-времени соответствует локальным унитарным преобразованиям волновых функций,

${\displaystyle \psi ^{\alpha }(x)\rightarrow \sum _{\beta =1}^{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}U(x)_{\beta }^{\alpha }\,\,\psi ^{\beta }(x)\quad {\text{with}}\quad U(x)\in {\text{U}}({\mathfrak {p}}_{x},{\mathfrak {q}}_{x}){\,}.}$

Эти преобразования интерпретируются как локальные калибровочные преобразования. Калибровочная группа определяется как группа изометрий спинового скалярного произведения. Причинное действие калибровочный инвариант в том смысле, что он не зависит от выбора спинорных оснований.

• В принцип эквивалентности: Для явного описания пространства-времени необходимо работать с локальными координатами. Свобода выбора таких координат обобщает свободу выбора общих систем отсчета в пространственно-временном многообразии. Следовательно принцип эквивалентности из общая теория относительности уважается. Причинное действие общековариантный в том смысле, что он не зависит от выбора координат.
• В Принцип исключения Паули: Фермионное фоковское состояние, связанное с причинной фермионной системой, позволяет описывать многочастичное состояние с помощью полностью антисимметричной волновой функции. Это дает согласие с Принцип исключения Паули.
• Принцип причинность включается формой причинного действия в том смысле, что точки пространства-времени с пространственно-подобным разделением не взаимодействуют.

Предельные случаи

Системы причинных фермионов имеют математически обоснованные предельные случаи, которые дают связь с обычными физическими структурами.

Лоренцева спиновая геометрия глобально гиперболических пространств-времени

Начиная с любой глобально гиперболической Лоренциан вращение многообразие ${\displaystyle ({\hat {M}},g)}$ со спинорной связкой ${\displaystyle S{\hat {M}}}$, мы попадаем в рамки причинных фермионных систем, выбирая ${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\langle }.|.{\rangle }_{\mathcal {H}})}$ как подпространство пространства решений Уравнение Дирака. Определение так называемого оператор локальной корреляции ${\displaystyle F(p)}$ за ${\displaystyle p\in {\hat {M}}}$ к

${\displaystyle {\langle }\psi |F(p)\phi {\rangle }_{\mathcal {H}}=-{\prec }\psi |\phi {\succ }_{p}}$

(куда ${\displaystyle {\prec }\psi |\phi {\succ }_{p}}$ внутренний продукт на волокне ${\displaystyle S_{p}{\hat {M}}}$) и вводя универсальную меру как продвижение меры объема на ${\displaystyle {\hat {M}}}$,

${\displaystyle \rho =F_{*}d\mu {\,},}$

получается причинная фермионная система. Чтобы локальные корреляционные операторы были четко определены, ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ должен состоять из непрерывных секций, что обычно требует введения регуляризация в микроскопическом масштабе ${\displaystyle \varepsilon }$. В пределе ${\displaystyle \varepsilon \searrow 0}$, все внутренние структуры на причинной фермионной системе (такие как причинная структура, связь и кривизна) переходят в соответствующие структуры на лоренцевом спиновом многообразии.^[5] Таким образом, геометрия пространства-времени полностью закодирована в соответствующих причинных фермионных системах.

Квантовая механика и классические уравнения поля

Уравнения Эйлера-Лагранжа, соответствующие принципу причинного действия, имеют четко определенный предел, если пространство-время ${\displaystyle M:={\text{supp}}\,\rho }$ причинных фермионных систем переходят в Пространство Минковского. Более конкретно, рассматривается последовательность причинных фермионных систем (например, с ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ конечномерных, чтобы гарантировать существование фермиониковского фоковского состояния, а также минимизаторов причинного действия), так что соответствующие волновые функции переходят в конфигурацию взаимодействующих морей Дирака, включающих дополнительные состояния частиц или "дырки" в моря. Эта процедура, именуемая континуальный предел, дает эффективные уравнения, имеющие структуру Уравнение Дирака в сочетании с классической уравнения поля. Например, для упрощенной модели, включающей три элементарных фермионных частицы со спином два, взаимодействие через классическое аксиальное калибровочное поле ${\displaystyle A}$^[2] описанный вместе Дирак- и Уравнения Янга-Миллса

${\displaystyle {\begin{aligned}(i\partial \!\!\!/\ +\gamma ^{5}A\!\!\!/\ -m)\psi &=0\\C_{0}(\partial _{j}^{k}A^{j}-\Box A^{k})-C_{2}A^{k}&=12\pi ^{2}{\bar {\psi }}\gamma ^{5}\gamma ^{k}\psi \,.\end{aligned}}}$

Переходя к нерелятивистскому пределу уравнения Дирака, получаем Уравнение Паули или Уравнение Шредингера, давая корреспонденцию квантовая механика. Здесь ${\displaystyle C_{0}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ зависят от регуляризации и определяют константу связи, а также массу покоя.

Точно так же для системы, включающей нейтрино в размерности спина 4, эффективно получается массивная ${\displaystyle SU(2)}$ калибровочное поле, связанное с левой компонентой спиноров Дирака.^[2] Конфигурацию фермионов стандартной модели можно описать в размерности спина 16.^[1]

Уравнения поля Эйнштейна

Для только что упомянутой системы с нейтрино^[2] континуальный предел также дает Уравнения поля Эйнштейна в сочетании со спинорами Дирака,

${\displaystyle R_{jk}-{\frac {1}{2}}\,R\,g_{jk}+\Lambda \,g_{jk}=\kappa \,T_{jk}[\Psi ,A]\,,}$

с точностью до поправок более высокого порядка по тензору кривизны. Здесь космологическая постоянная ${\displaystyle \Lambda }$ не определено, и ${\displaystyle T_{jk}}$ обозначает тензор энергии-импульса спиноров и ${\displaystyle SU(2)}$ калибровочное поле. Постоянная гравитации ${\displaystyle \kappa }$ зависит от длины регуляризации.

Квантовая теория поля в пространстве Минковского

Исходя из связанной системы уравнений, полученной в непрерывном пределе, и разлагая по степеням константы связи, получаем интегралы, соответствующие Диаграммы Фейнмана на уровне дерева. Фермионные петлевые диаграммы возникают из-за взаимодействия с состояниями моря, тогда как бозонные петлевые диаграммы появляются при усреднении по микроскопической (в целом негладкой) пространственно-временной структуре причинной фермионной системы (так называемой микроскопическое перемешивание).^[3] Подробный анализ и сравнение со стандартной квантовой теорией поля еще продолжаются.^[4]

Рекомендации

1. Финстер, Феликс (2006). Принцип фермионного проектора. Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3974-4. OCLC  61211466.Главы 1-4Главы 5-8Приложения
2. Финстер, Феликс (2016). Предел континуума причинных фермионных систем.. Фундаментальные теории физики. 186. Чам: Издательство Springer International. arXiv:1605.04742. Дои:10.1007/978-3-319-42067-7. ISBN  978-3-319-42066-0. ISSN  0168-1222.
3. Финстер, Феликс (2014). «Пертурбативная квантовая теория поля в рамках фермионного проектора». Журнал математической физики. 55 (4): 042301. arXiv:1310.4121. Дои:10.1063/1.4871549. ISSN  0022-2488.
4. Финстер, Феликс; Камран, Ники (2018). «Сложные структуры на реактивных пространствах и бозонная космическая динамика для причинно-вариационных принципов». arXiv:1808.03177.
5. Финстер, Феликс; Гроц, Андреас (2012). «Лоренцева квантовая геометрия». Успехи теоретической и математической физики. 16 (4): 1197–1290. arXiv:1107.2026. Дои:10.4310 / atmp.2012.v16.n4.a3. ISSN  1095-0761.
6. Финстер, Феликс; Камран, Ники (2019). «Спиноры на особых пространствах и топология причинных фермионных систем». Мемуары Американского математического общества. 259 (1251): v + 83. arXiv:1403.7885. Дои:10.1090 / memo / 1251. ISSN  0065-9266.
7. Финстер, Феликс; Гроц, Андреас; Шифенедер, Даниэла (2012). "Причинные фермионные системы: квантовое пространство-время, возникающее из принципа действия". Квантовая теория поля и гравитация. Базель: Springer Basel. стр.157 –182. arXiv:1102.2585. Дои:10.1007/978-3-0348-0043-3_9. ISBN  978-3-0348-0042-6.
8. Финстер, Феликс (2010). «Причинно-вариационные принципы на пространствах с мерой». Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 2010 (646): 141–194. arXiv:0811.2666. Дои:10.1515 / crelle.2010.069. ISSN  0075-4102.
9. Финстер, Феликс; Кляйнер, Йоханнес (2016). «Нётер-подобные теоремы для причинно-вариационных принципов». Вариационное исчисление и уравнения с частными производными. 55: 35. arXiv:1506.09076. Дои:10.1007 / s00526-016-0966-y. ISSN  0944-2669.
10. Финстер, Феликс; Кляйнер, Йоханнес (2017). «Гамильтонова формулировка причинных вариационных принципов». Вариационное исчисление и уравнения с частными производными. 56: 73. arXiv:1612.07192. Дои:10.1007 / s00526-017-1153-5. ISSN  0944-2669.
11. Финстер, Феликс; Кляйнер, Йоханнес (2019). «Класс сохраняющихся интегралов поверхностного слоя для причинных вариационных принципов». Вариационное исчисление и уравнения с частными производными. 58: 38. arXiv:1801.08715. Дои:10.1007 / s00526-018-1469-9. ISSN  0944-2669.
12. Финстер, Феликс (2010). «Запутанность и вторичное квантование в рамках фермионного проектора». Журнал физики A: математический и теоретический. 43 (39): 395302. arXiv:0911.0076. Дои:10.1088/1751-8113/43/39/395302. ISSN  1751-8113.

дальнейшее чтение

• Веб-платформа по причинно-фермионным системам