Уравнение Уиллера – ДеВитта - Wheeler–DeWitt equation

В Уравнение Уиллера – ДеВитта^[1] это уравнение поля. Это часть теории, которая пытается математически объединить идеи квантовая механика и общая теория относительности, шаг к теории квантовая гравитация. В этом подходе время играет роль, отличную от той, что он делает в нерелятивистской квантовой механике, что приводит к так называемомупроблема времени '.^[2] Более конкретно, уравнение описывает квантовую версию Гамильтонова связь с использованием метрических переменных. Его коммутационные отношения с ограничения диффеоморфизма порождают «группу» Бергмана – Комара (которая является то группа диффеоморфизмов на оболочке ).

Квантовая гравитация

Все определенные и понятые описания струн / М-теории имеют дело с фиксированными асимптотическими условиями на фоновом пространстве-времени. В бесконечности "право"^{[требуется разъяснение ]} выбор временной координаты "t" определяется (поскольку пространство-время асимптотично некоторому фиксированному пространству-времени) в каждом описании, поэтому существует предпочтительное определение Гамильтониан (с ненулевыми собственными значениями) для развития состояний системы вперед во времени. Это избавляет от необходимости динамически генерировать измерение времени с помощью уравнения Уиллера – ДеВитта. Таким образом, уравнение пока не играет роли в теории струн.

Может существовать способ в стиле Уиллера – ДеВитта для описания динамики объема квантовой теории гравитации. Некоторые эксперты полагают, что это уравнение все еще имеет потенциал для понимания квантовой гравитации; однако спустя десятилетия после того, как уравнение было опубликовано, совершенно другие подходы, такие как теория струн, принесли физикам ясные результаты о квантовой гравитации.

Мотивация и предыстория

В каноническая гравитация, пространство-время слоистый на пространственноподобные подмногообразия. Трехметрика (т. Е. Метрика на гиперповерхности) есть ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ и дано

${\displaystyle g_{\mu \nu }\,\mathrm {d} x^{\mu }\,\mathrm {d} x^{\nu }=(-\,N^{2}+\beta _{k}\beta ^{k})\,\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{k}\,\mathrm {d} x^{k}\,\mathrm {d} t+\gamma _{ij}\,\mathrm {d} x^{i}\,\mathrm {d} x^{j}.}$

В этом уравнении латинские индексы пробегают значения 1, 2, 3, а греческие индексы - значения 1, 2, 3, 4. Трехметрическая система ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ - поле, и обозначим его сопряженные импульсы как ${\displaystyle \pi ^{kl}}$. Гамильтониан - это ограничение (характерное для большинства релятивистских систем)

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}G_{ijkl}\pi ^{ij}\pi ^{kl}-{\sqrt {\gamma }}\,{}^{(3)}\!R=0}$

куда ${\displaystyle \gamma =\det(\gamma _{ij})}$ и ${\displaystyle G_{ijkl}=(\gamma _{ik}\gamma _{jl}+\gamma _{il}\gamma _{jk}-\gamma _{ij}\gamma _{kl})}$ - метрика Уиллера – ДеВитта.

Квантование «снимает шляпу» с импульсными и полевыми переменными; то есть функции чисел в классическом случае становятся операторами, которые изменяют функцию состояния в квантовом случае. Таким образом, получаем оператор

${\displaystyle {\widehat {\mathcal {H}}}={\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}{\widehat {G}}_{ijkl}{\widehat {\pi }}^{ij}{\widehat {\pi }}^{kl}-{\sqrt {\gamma }}\,{}^{(3)}\!{\widehat {R}}.}$

Работая в "пространстве позиций", эти операторы

${\displaystyle {\hat {\gamma }}_{ij}(t,x^{k})\to \gamma _{ij}(t,x^{k})}$

${\displaystyle {\hat {\pi }}^{ij}(t,x^{k})\to -i{\frac {\delta }{\delta \gamma _{ij}(t,x^{k})}}.}$

Оператор можно применить к общему волновому функционалу метрики ${\displaystyle {\widehat {\mathcal {H}}}\Psi [\gamma ]=0}$ куда:

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=a+\int \psi (x)\gamma (x)dx^{3}+\int \int \psi (x,y)\gamma (x)\gamma (y)dx^{3}dy^{3}+...}$

что даст набор ограничений среди коэффициентов ${\displaystyle \psi (x,y,...)}$. Это означает, что амплитуды для ${\displaystyle N}$ гравитоны в определенных положениях связаны с амплитудами для разного количества гравитонов в разных положениях. Или можно было бы использовать двухпольный формализм, рассматривая ${\displaystyle \omega (g)}$ как независимое поле, так что волновая функция ${\displaystyle \Psi [\gamma ,\omega ]}$.

Вывод из интеграла по путям

Уравнение Уиллера – ДеВитта может быть получено из интеграл по путям с использованием гравитационное действие в Евклидова квантовая гравитация парадигма:^[3]

${\displaystyle Z=\int _{C}\mathrm {e} ^{-I[g_{\mu \nu },\phi ]}{\mathcal {D}}\mathbf {g} \,{\mathcal {D}}\phi }$

где интегрируется по классу Риманов четырехметрические и материальные поля, соответствующие определенным граничным условиям. Поскольку концепция универсальной координаты времени кажется нефизической и противоречит принципам общая теория относительности, действие оценивается вокруг 3-метрики, которую мы принимаем за границу классов четырехметрик и на которой существует определенная конфигурация полей материи. Это последнее могло бы быть, например, текущей конфигурацией материи в нашей Вселенной, как мы ее наблюдаем сегодня. Оценка действия так, чтобы оно зависело только от 3-метрики и полей материи, достаточна, чтобы устранить необходимость во временной координате, поскольку она эффективно фиксирует точку в эволюции Вселенной.

Мы получаем гамильтонову связь из

${\displaystyle {\frac {\delta I_{EH}}{\delta N}}=0}$

куда ${\displaystyle I_{EH}}$ - действие Эйнштейна – Гильберта, а ${\displaystyle N}$ - функция погрешности, то есть множитель Лагранжа для гамильтоновой связи. Спрос на эту вариацию нашего гравитационное действие в нуль соответствует, по сути, фоновая независимость в общая теория относительности.^[4] Пока это чисто классический вариант. Мы можем восстановить уравнение Уиллера – ДеВитта из

${\displaystyle {\frac {\delta Z}{\delta N}}=0=\int \left.{\frac {\delta I[g_{\mu \nu },\phi ]}{\delta N}}\right|_{\Sigma }\exp \left(-I[g_{\mu \nu },\phi ]\right)\,{\mathcal {D}}\mathbf {g} \,{\mathcal {D}}\phi }$

куда ${\displaystyle \Sigma }$ - трехмерная граница. Обратите внимание, что это выражение обращается в нуль, что означает, что функциональная производная также обращается в нуль, что дает нам уравнение Уиллера – ДеВитта. Аналогичное заявление можно сделать для ограничение диффеоморфизма (вместо этого возьмите функциональную производную по функциям сдвига).

Математический формализм

Уравнение Уиллера – ДеВитта.^[1] это функциональный дифференциал уравнение. В общем случае он плохо определен, но очень важен в теоретическая физика, особенно в квантовая гравитация. Это функционально-дифференциальное уравнение в пространстве трехмерных пространственных метрик. Уравнение Уиллера – ДеВитта имеет вид оператора, действующего на волновой функционал; в космологии функционал сводится к функции. В отличие от общего случая, уравнение Уиллера – ДеВитта корректно определено в минисуперпространства как конфигурационное пространство космологических теорий. Пример такого волновая функция это Штат Хартла – Хокинга. Брайс ДеВитт впервые опубликовал это уравнение в 1967 году под названием «уравнение Эйнштейна – Шредингера»; позже он был переименован в "Уиллер –Уравнение ДеВитта ».^[5]

Гамильтонова связь

Проще говоря, уравнение Уиллера – ДеВитта говорит

${\displaystyle {\hat {H}}(x)|\psi \rangle =0}$

куда ${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$ это Гамильтонова связь в квантованном общая теория относительности и ${\displaystyle |\psi \rangle }$ стоит за волновая функция Вселенной. В отличие от обычной квантовой теории поля или квантовой механики, гамильтониан представляет собой ограничение первого класса по физическим состояниям. У нас также есть независимое ограничение для каждой точки в пространстве.

Хотя символы ${\displaystyle {\hat {H}}}$ и ${\displaystyle |\psi \rangle }$ Может показаться знакомым, но их интерпретация в уравнении Уиллера – ДеВитта существенно отличается от нерелятивистской квантовой механики. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ больше не является пространственной волновой функцией в традиционном смысле комплекснозначной функции, которая определена на трехмерной пространственно-подобной поверхности и нормирована на единицу. Вместо этого это функциональный конфигураций полей во всем пространстве-времени. Эта волновая функция содержит всю информацию о геометрии и содержании вещества Вселенной. ${\displaystyle {\hat {H}}}$ по-прежнему является оператором, который действует на Гильбертово пространство волновых функций, но это не то же самое гильбертово пространство, как в нерелятивистском случае, и гамильтониан больше не определяет эволюцию системы, поэтому Уравнение Шредингера ${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar \partial /\partial t|\psi \rangle }$ больше не применяется. Это свойство известно как безвременье. Возрождение времени требует инструментов декогеренция и операторы часов^{[нужна цитата ]} (или использование скалярное поле ).

Ограничение импульса

Нам также необходимо усилить гамильтонову связь с помощью импульсные ограничения

${\displaystyle {\vec {\mathcal {P}}}(x)\left|\psi \right\rangle =0}$

связанной с инвариантностью пространственного диффеоморфизма.

В минисуперпространство приближений, у нас есть только одна гамильтонова связь (вместо бесконечного их количества).

По сути, принцип общая ковариация в общей теории относительности подразумевает, что глобальной эволюции как таковой не существует; время ${\displaystyle t}$ это просто метка, которую мы назначаем одной из координатных осей. Таким образом, то, что мы думаем об эволюции любой физической системы во времени, - это просто калибровочное преобразование, похожий на QED индуцированное локальным калибровочным преобразованием U (1) ${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\theta ({\vec {r}})}\psi }$ куда ${\displaystyle \theta ({\vec {r}})}$ играет роль местного времени. Роль гамильтониана состоит в том, чтобы просто ограничить пространство «кинематических» состояний Вселенной пространством «физических» состояний - тех, которые следуют за калибровочными орбитами. По этой причине мы называем это «гамильтоновой связью». При квантовании физические состояния становятся волновыми функциями, лежащими в ядро гамильтонова оператора.

В целом Гамильтониан^{[требуется разъяснение ]} исчезает для теории с общей ковариантностью или масштабной инвариантностью.

Смотрите также

• Формализм ADM
• Ограничение диффеоморфизма
• Евклидова квантовая гравитация
• Исчисление Редже
• Каноническая квантовая гравитация
• Метрика Переса
• Петлевая квантовая гравитация

Рекомендации

1. ДеВитт, Б. С. (1967). «Квантовая теория гравитации. I. Каноническая теория». Phys. Ред. 160 (5): 1113–1148. Bibcode:1967ПхРв..160.1113Д. Дои:10.1103 / PhysRev.160.1113.
2. Блог The Physics arXiv (23 октября 2013 г.). «Квантовый эксперимент показывает, как время« выходит »из запутанности». medium.com.
3. Hartle, J. B .; Хокинг, С. В. (1983). «Волновая функция Вселенной». Phys. Ред. D. 28: 2960–2975. Дои:10.1103 / PhysRevD.28.2960.
4. https://javierrubioblog.files.wordpress.com/2016/09/notes_wheeler-dewitt_talk.pdf
5. Ровелли, Карло (23 января 2001 г.). «Заметки для краткой истории квантовой гравитации». Представлено на 9-м заседании Марселя Гроссмана в Риме, июль 2000 г. arXiv:gr-qc / 0006061.

• Герберт В. Хамбер и Рут М. Уильямс (2011). «Дискретное уравнение Уиллера-ДеВитта». Физический обзор D. 84: 104033. arXiv:1109.2530. Bibcode:2011PhRvD..84j4033H. Дои:10.1103 / PhysRevD.84.104033. Доступны на [1].
• Герберт В. Хамбер, Рэйко Торими и Рут М. Уильямс (2012). «Уравнение Уиллера-ДеВитта в 2 + 1 измерениях». Физический обзор D. 86: 084010. arXiv:1207.3759. Bibcode:2012ПхРвД..86х4010Н. Дои:10.1103 / PhysRevD.86.084010. Доступны на [2].