Четырехтензорный - Four-tensor

В физика, специально для специальная теория относительности и общая теория относительности, а четырехтензорный это сокращение от тензор в четырехмерном пространство-время.^[1]

Общие

Общие четырехтензоры обычно записываются в обозначение тензорного индекса в качестве

${\displaystyle A_{\;\nu _{1},\nu _{2},...,\nu _{m}}^{\mu _{1},\mu _{2},...,\mu _{n}}}$

с индексами, принимающими целые значения от 0 до 3, с 0 для времениподобных компонентов и 1, 2, 3 для пространственноподобных компонентов. Есть п контравариантный индексы и м ковариантный индексы.^[1]

В специальной и общей теории относительности многие представляющие интерес четыре-тензоры имеют первый порядок (четырехвекторный ) или второго порядка, но встречаются тензоры более высокого порядка. Примеры перечислены далее.

В специальной теории относительности векторный базис может быть ограничен ортонормированием, и в этом случае все четыре-тензоры преобразуются при Преобразования Лоренца. В общей теории относительности необходимы более общие преобразования координат, поскольку такое ограничение в общем случае невозможно.

Примеры

Тензоры первого порядка

Основная статья: Четырехвекторный

В специальной теории относительности одним из простейших нетривиальных примеров четырехмерного тензора является четырехмерное смещение

${\displaystyle x^{\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})\,,}$

4-тензор с контравариантным рангом 1 и ковариантным рангом 0. Четыре-тензора такого типа обычно называют четырехвекторный. Здесь компонент Икс⁰ = ct дает смещение тела во времени (координата времени т умножается на скорость света c так что Икс⁰ имеет размеры по длине). Остальные компоненты четырехмерного смещения образуют вектор пространственного смещения Икс = (Икс¹, Икс², Икс³).^[1]

В четырехимпульсный для массивных или безмассовые частицы является

${\displaystyle p^{\mu }=\left(E/c,p_{x},p_{y},p_{z}\right)}$

объединяет свою энергию (делится на c) п⁰ = E/c и 3-импульс п = (п¹, п², п³).^[1]

Для частицы с релятивистская масса м, четыре импульса определяется

${\displaystyle p^{\mu }=m{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}$

с τ в подходящее время частицы.

Тензоры второго порядка

В Метрика Минковского тензор с ортонормированной базой для соглашения (- +++)

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\,}$

используется для расчета линейный элемент и повышение и понижение показателей. Вышесказанное относится к декартовым координатам. В общей теории относительности метрический тензор задается гораздо более общими выражениями для криволинейных координат.

В угловой момент L = Икс ∧ п частицы с релятивистская масса м и релятивистский импульс п (измерено наблюдателем в лабораторная рама ) сочетается с другой векторной величиной N = мИкс − пт (без стандартного названия) в релятивистский угловой момент тензор^[2][3]

${\displaystyle M^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{pmatrix}}}$

с компонентами

${\displaystyle M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }}$

В тензор энергии-импульса континуума или поля обычно принимает форму тензора второго порядка и обычно обозначается Т. Времяподобная составляющая соответствует плотность энергии (энергия на единицу объема), компоненты смешанного пространства-времени равны плотность импульса (импульс на единицу объема), а чисто пространственноподобные части - к трехмерным тензорам напряжений.

В тензор электромагнитного поля объединяет электрическое поле и E и магнитное поле B^[4]

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

Тензор электромагнитного смещения объединяет электрическое поле смещения D и напряженность магнитного поля ЧАС следующее^[5]

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-D_{x}c&-D_{y}c&-D_{z}c\\D_{x}c&0&-H_{z}&H_{y}\\D_{y}c&H_{z}&0&-H_{x}\\D_{z}c&-H_{y}&H_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

В намагничивание -поляризация тензор объединяет п и M поля^[4]

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&P_{x}c&P_{y}c&P_{z}c\\-P_{x}c&0&-M_{z}&M_{y}\\-P_{y}c&M_{z}&0&-M_{x}\\-P_{z}c&-M_{y}&M_{x}&0\end{pmatrix}},}$

Три тензора поля связаны соотношением

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{\mu \nu }-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,}$

что эквивалентно определениям D и ЧАС поля.

В электрический дипольный момент d и магнитный дипольный момент μ частицы объединяются в единый тензор^[6]

${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&d_{x}&d_{y}&d_{z}\\-d_{x}&0&\mu _{z}/c&-\mu _{y}/c\\-d_{y}&-\mu _{z}/c&0&\mu _{x}/c\\-d_{z}&\mu _{y}/c&-\mu _{x}/c&0\end{pmatrix}},}$

В Тензор кривизны Риччи - еще один тензор второго порядка.

Тензоры высших порядков

В общей теории относительности есть тензоры кривизны, которые имеют тенденцию быть более высокого порядка, такие как Тензор кривизны Римана и Тензор кривизны Вейля которые оба являются тензорами четвертого порядка.

Смотрите также

• Спиновый тензор
• Тетрада (общая теория относительности)

Рекомендации

1. Ламбурн, Роберт Дж. А. Относительность, гравитация и космология. Издательство Кембриджского университета. 2010 г.
2. Р. Пенроуз (2005). Дорога к реальности. старинные книги. С. 437–438, 566–569. ISBN  978-0-09-944068-0. Примечание: Некоторые авторы, включая Пенроуза, используют латинский буквы в этом определении, хотя обычно используются греческие индексы для векторов и тензоров в пространстве-времени.
3. М. Файнгольд (2008). Специальная теория относительности и как она работает. Джон Уайли и сыновья. С. 137–139. ISBN  978-3-527-40607-4.
4. Вандерлинде, Джек (2004), классическая теория электромагнетизма, Springer, стр. 313–328, ISBN  9781402026997
5. Барут, А. (Январь 1980 г.). Электродинамика и классическая теория частиц и полей. Дувр. п. 96. ISBN  978-0-486-64038-9.
6. Барут, А. (Январь 1980 г.). Электродинамика и классическая теория частиц и полей. Дувр. п. 73. ISBN  978-0-486-64038-9. Нет фактора c появляется в тензоре в этой книге из-за различных соглашений для тензора электромагнитного поля.