Уравнение Каллана – Симанзика - Callan–Symanzik equation

В физика, то Уравнение Каллана – Симанзика это дифференциальное уравнение описывая эволюцию п-точечные корреляционные функции при изменении шкалы энергий, на которой определяется теория и включает бета-функция теории и аномальных размерностей.

Например, для квантовая теория поля с одним безмассовым скалярным полем и одним членом самосвязи, обозначим напряженность голого поля как ${\displaystyle \phi _{0}}$ а затравочную константу связи - ${\displaystyle g_{0}}$. В процессе перенормировка, массовая шкала M должен быть выбран. В зависимости от M, напряженность поля масштабируется на константу: ${\displaystyle \phi =Z\phi _{0}}$, и, как следствие, голая константа связи ${\displaystyle g_{0}}$ соответственно сдвигается к перенормированной константе связи грамм.

Физическое значение имеют перенормированные п-точечные функции, вычисленные из связанных Диаграммы Фейнмана, схематично в виде

${\displaystyle G^{(n)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n};M,g)=\langle \phi (x_{1})\phi (x_{2})\cdots \phi (x_{n})\rangle }$

Для данного выбора схемы перенормировки вычисление этой величины зависит от выбора M, что влияет на сдвиг грамм и изменение масштаба ${\displaystyle \phi }$. Если выбор ${\displaystyle M}$ немного изменен ${\displaystyle \delta M}$, то произойдут следующие сдвиги:

${\displaystyle M\to M+\delta M}$

${\displaystyle g\to g+\delta g}$

${\displaystyle \phi =Z\phi _{0}\to Z'\phi _{0}=(1+\delta \eta )\phi }$

${\displaystyle G^{(n)}\to (1+n\,\delta \eta )G^{(n)}}$

Уравнение Каллана-Симанзика связывает эти сдвиги:

${\displaystyle n\,\delta \eta G^{(n)}={\frac {\partial G^{(n)}}{\partial M}}\delta M+{\frac {\partial G^{(n)}}{\partial g}}\delta g}$

После следующих определений

${\displaystyle \beta ={\frac {M}{\delta M}}\delta g}$

${\displaystyle \gamma =-{\frac {M}{\delta M}}\delta \eta }$

уравнение Каллана-Симанзика можно записать в общепринятом виде:

${\displaystyle \left[M{\frac {\partial }{\partial M}}+\beta (g){\frac {\partial }{\partial g}}+n\gamma \right]G^{(n)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n};M,g)=0}$

${\displaystyle \beta (g)}$ будучи бета-функция.

В квантовая электродинамика это уравнение принимает вид

${\displaystyle \left[M{\frac {\partial }{\partial M}}+\beta (e){\frac {\partial }{\partial e}}+n\gamma _{2}+m\gamma _{3}\right]G^{(n,m)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n};y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m};M,e)=0}$

куда п и м количество электрон и фотон поля соответственно, для которых корреляционная функция ${\displaystyle G^{(n,m)}}$ определено. Перенормированная константа связи теперь является перенормированной элементарный заряд е. Электронное поле и поле фотона изменяются по-разному при перенормировке и, таким образом, приводят к двум отдельным функциям: ${\displaystyle \gamma _{2}}$ и ${\displaystyle \gamma _{3}}$, соответственно.

Уравнение Каллана-Симанзика было независимо открыто Кертис Каллан^[1] и Курт Симанзик^[2][3] в 1970 году. Позже его использовали для понимания асимптотическая свобода.

Это уравнение возникает в рамках ренормгруппа. Можно обработать уравнение, используя теория возмущений.

Смотрите также

• Точное уравнение ренормгруппы
• Бета-функция

Примечания

1. Каллан, Кертис Г. (1970-10-15). "Нарушенная масштабная инвариантность в теории скалярного поля". Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 2 (8): 1541–1547. Дои:10.1103 / Physrevd.2.1541. ISSN  0556-2821.
2. Симанзик К. (1970). «Поведение на малых расстояниях в теории поля и подсчете мощности». Коммуникации по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 18 (3): 227–246. Дои:10.1007 / bf01649434. ISSN  0010-3616.
3. Симанзик К. (1971). «Анализ поведения на малых расстояниях и разложения Вильсона». Коммуникации по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 23 (1): 49–86. Дои:10.1007 / bf01877596. ISSN  0010-3616.

Рекомендации

• Жан Зинн-Джастин, Квантовая теория поля и критические явления , Oxford University Press, 2003 г., ISBN  0-19-850923-5
• Джон Клементс Коллинз, Перенормировка, Cambridge University Press, 1986, ISBN  0-521-31177-2
• Майкл Э. Пескин и Даниэль В. Шредер, Введение в квантовую теорию поля, Addison-Wesley, Reading, 1995. 2-е издание, пбк. Westview Press. 2015 г.^[1]

1. Берг, Майкл (10 февраля 2016 г.). "Обзор Введение в квантовую теорию поля Пескин и Шредер ". Обзоры MAA, maa.org.