Крепление манометра - Gauge fixing

в физика из калибровочные теории, крепление датчика (также называемый выбор калибра) обозначает математическую процедуру для преодоления избыточных степени свободы в поле переменные. По определению калибровочная теория представляет каждую физически отличную конфигурацию системы в виде класс эквивалентности подробных локальных конфигураций поля. Любые две подробные конфигурации в одном и том же классе эквивалентности связаны между собой калибровочное преобразование, что эквивалентно срезать по нефизическим осям в конфигурационном пространстве. Большинство количественных физических предсказаний калибровочной теории может быть получено только при наличии последовательного рецепта подавления или игнорирования этих нефизических степеней свободы.

Хотя нефизические оси в пространстве детальных конфигураций являются фундаментальным свойством физической модели, специального набора направлений, «перпендикулярных» им, не существует. Следовательно, существует огромная свобода действий при взятии «поперечного сечения», представляющего каждую физическую конфигурацию посредством частности подробная конфигурация (или даже их взвешенное распределение). Разумная установка калибра может значительно упростить вычисления, но становится все труднее по мере того, как физическая модель становится более реалистичной; его применение к квантовая теория поля чревато осложнениями, связанными с перенормировка, особенно когда вычисление продолжается до более высоких заказы. Исторически сложилось так, что поиск логически последовательный и вычислительно поддающиеся процедурам фиксации датчика, а также попытки продемонстрировать их эквивалентность перед лицом ошеломляющего множества технических трудностей, были основными движущими силами математическая физика с конца девятнадцатого века до наших дней.^{[нужна цитата ]}

Калибр свободы

Архетипическая калибровочная теория - это Хевисайд –Гиббс формулировка континуума электродинамика с точки зрения электромагнитный четырехпотенциальный, который представлен здесь в асимметричной записи пространства / времени Хевисайда. В электрическое поле E и магнитное поле B из Уравнения Максвелла содержат только «физические» степени свободы в том смысле, что каждая математический Степень свободы в конфигурации электромагнитного поля оказывает отдельно измеряемое влияние на движение пробных зарядов поблизости. Эти переменные "напряженности поля" могут быть выражены через электрический скалярный потенциал ${\displaystyle \varphi }$ и магнитный векторный потенциал А через отношения:

${\displaystyle {\mathbf {E} }=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\,,\quad {\mathbf {B} }=\nabla \times {\mathbf {A} }.}$

Если преобразование

${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi }$

(1)

сделано, то B остается без изменений, поскольку

${\displaystyle {\mathbf {B} }=\nabla \times ({\mathbf {A} }+\nabla \psi )=\nabla \times {\mathbf {A} }}$.

Однако это преобразование меняет E в соответствии с

${\displaystyle {\mathbf {E} }=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}-\nabla {\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}=-\nabla \left(\varphi +{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}\right)-{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}}$.

Если другое изменение

${\displaystyle \varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}}$

(2)

сделано тогда E тоже остается прежним. Следовательно E и B поля не меняются, если взять любую функцию ψ(р, т) и одновременно преобразует А и φ через преобразования (1) и (2).

Частным выбором скалярного и векторного потенциалов является измерять (точнее, измерить потенциал) и скалярная функция ψ используется для изменения калибра, называется калибровочная функция. Существование произвольного числа калибровочных функций ψ(р, т) соответствует U (1) свобода измерения этой теории. Крепление калибра может быть выполнено разными способами, некоторые из которых мы покажем ниже.

Хотя о классическом электромагнетизме сейчас часто говорят как о калибровочной теории, изначально он не рассматривался в этих терминах. На движение классического точечного заряда влияет только напряженность электрического и магнитного полей в этой точке, а потенциалы можно рассматривать как простое математическое устройство для упрощения некоторых доказательств и расчетов. Только после появления квантовой теории поля нельзя было сказать, что сами потенциалы являются частью физической конфигурации системы. Первым последствием, которое нужно было точно предсказать и экспериментально проверить, было Эффект Ааронова – Бома, не имеющий классического аналога. Тем не менее калибровочная свобода в этих теориях все еще остается верной. Например, эффект Ааронова – Бома зависит от линейный интеграл из А вокруг замкнутого контура, и этот интеграл не изменяется на

${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi \,.}$

Крепление манометра в неабелев калибровочные теории, такие как Теория Янга – Миллса и общая теория относительности, это более сложная тема; подробности см. Грибовская двусмысленность, Призрак Фаддеева – Попова, и комплект кадров.

Иллюстрация

Калибровочная фиксация скрученный цилиндр. (Примечание: линия находится на поверхность цилиндра, а не внутри него.)

Глядя на цилиндрический стержень, можно определить, скручен ли он? Если стержень имеет идеально цилиндрическую форму, то круговая симметрия поперечного сечения не позволяет определить, скручен ли он. Однако, если бы по длине стержня была проведена прямая линия, то можно было бы легко сказать, есть ли скручивание, глядя на состояние линии. Рисование линии - это крепление датчика. Рисование линии нарушает симметрию калибра, т.е. круговую симметрию. U (1) поперечного сечения в каждой точке стержня. Линия эквивалентна калибровочная функция; он не должен быть прямым. Практически любая линия является допустимой фиксацией калибра, т. Е. Имеется большая свобода измерения. Чтобы определить, перекручен ли стержень, нужно сначала узнать калибр. Физические величины, такие как энергия кручения, не зависят от калибровки, т.е. калибровочный инвариант.

Кулоновский калибр

В Кулоновский калибр (также известный как поперечная колея ) используется в квантовая химия и физика конденсированного состояния и определяется условием калибровки (точнее, условием фиксации калибровки)

${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }(\mathbf {r} ,t)=0\,.}$

Это особенно полезно для «полуклассических» расчетов в квантовой механике, в которых векторный потенциал равен квантованный но кулоновское взаимодействие - нет.

Кулоновская калибровка обладает рядом свойств:

1. Потенциалы могут быть выражены через мгновенные значения полей и плотностей (в Международная система единиц )

   ${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {\rho } (\mathbf {r} ',t)}{R}}\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {r} '}$

   ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\nabla \times \int {\frac {\mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {r} '}$

   куда ρ(р, т) - плотность электрического заряда, ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r} '}$ и ${\displaystyle R=\left|\mathbf {R} \right|}$ (куда р любой вектор положения в пространстве и р′ - точка в распределении заряда или тока), ${\displaystyle \nabla }$ действует на р и г³ р это элемент объема в р.

   На первый взгляд, мгновенная природа этих потенциалов нарушает причинность, поскольку движения электрического заряда или магнитного поля появляются повсюду мгновенно, как изменения потенциалов. Это оправдывается тем, что скалярный и векторный потенциалы сами по себе не влияют на движения зарядов, а только на комбинации их производных, которые формируют напряженность электромагнитного поля. Хотя можно явно вычислить напряженность поля в кулоновской калибровке и продемонстрировать, что изменения в них распространяются со скоростью света, гораздо проще заметить, что напряженности поля не изменяются при калибровочных преобразованиях, и продемонстрировать причинность в явно лоренц-ковариантной лоренцевой теории. манометр описан ниже.

   Еще одно выражение для векторного потенциала через запаздывающую по времени плотность электрического тока J(р, т), было получено:^[1]

   ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\nabla \times \int \left[\int _{0}^{R/c}\tau \,{\frac {{\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t-\tau )}\times {\mathbf {R} }}{R^{3}}}\,\operatorname {d} \!\tau \right]\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {r} '}$.

2. Дальнейшие калибровочные преобразования, которые сохраняют кулоновское калибровочное условие, могут быть выполнены с помощью калибровочных функций, удовлетворяющих ∇² ψ = 0, но в качестве единственного решения этого уравнения, которое обращается в нуль на бесконечности (где все поля должны обращаться в нуль), является ψ(р, т) = 0, калибровочного произвола не остается. Из-за этого кулоновская калибровка называется полной калибровкой, в отличие от калибровок, в которых сохраняется некоторый калибровочный произвол, как, например, калибровка Лоренца ниже.
3. Кулоновская калибровка является минимальной калибровкой в ​​том смысле, что интеграл от А² по всему пространству минимален для этой калибровки: все остальные калибровки дают больший интеграл.^[2] Минимальное значение, определяемое кулоновской калибровкой, составляет

   ${\displaystyle \int \mathbf {A} ^{2}(\mathbf {r} ,t)\operatorname {d} \!^{3}\mathbf {r} =\int \int {\frac {\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}\operatorname {d} \!^{3}\mathbf {r} \operatorname {d} \!^{3}\mathbf {r} '}$.

4. В областях, далеких от электрического заряда, скалярный потенциал обращается в ноль. Это известно как датчик радиации. Электромагнитное излучение был сначала квантован в этой калибровке.
5. Кулоновская калибровка допускает естественную гамильтонову формулировку уравнений эволюции электромагнитного поля, взаимодействующего с сохраняющимся током, что является преимуществом для квантования теории. Однако кулоновская калибровка не является лоренц-ковариантной. Если Преобразование Лоренца Для новой инерциальной системы отсчета необходимо выполнить дальнейшее калибровочное преобразование, чтобы сохранить кулоновское калибровочное условие. Из-за этого кулоновская калибровка не используется в ковариантной теории возмущений, которая стала стандартной для трактовки релятивистской теории возмущений. квантовые теории поля Такие как квантовая электродинамика (QED). В этих теориях обычно используются лоренцевы ковариантные калибровки, такие как калибровка Лоренца. Амплитуды физических процессов в КЭД в нековариантной кулоновской калибровке совпадают с таковыми в ковариантной калибровке Лоренца.^[3]
6. Для однородного и постоянного магнитного поля B векторный потенциал в кулоновской калибровке равен

   ${\displaystyle {\mathbf {A} }(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {1}{2}}\mathbf {r} \times \mathbf {B} }$

   что может быть подтверждено вычислением div и curl А. Расхождение А на бесконечности является следствием нефизического предположения, что магнитное поле однородно во всем пространстве. Хотя этот векторный потенциал в целом нереалистичен, он может обеспечить хорошее приближение к потенциалу в конечном объеме пространства, в котором магнитное поле однородно.
7. Как следствие приведенных выше соображений, электромагнитные потенциалы могут быть выражены в их наиболее общих формах в терминах электромагнитных полей как

   ${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\nabla '\cdot {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}\operatorname {d} \!^{3}\mathbf {r} '-{\frac {\partial {\psi (\mathbf {r} ,t)}}{\partial t}}}$

   ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\nabla \times \int {\frac {\mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}\operatorname {d} \!^{3}\mathbf {r} '+\nabla \psi (\mathbf {r} ,t)}$

   куда ψ(р, т) - произвольное скалярное поле, называемое калибровочной функцией. Поля, являющиеся производными калибровочной функции, известны как чистые калибровочные поля, а произвол, связанный с калибровочной функцией, известен как калибровочная свобода. В правильно выполненных вычислениях чистые калибровочные члены не влияют ни на какие физические наблюдаемые. Величина или выражение, которые не зависят от калибровочной функции, называются калибровочно-инвариантными: все физические наблюдаемые должны быть калибровочно-инвариантными. Калибровочное преобразование от кулоновской калибровки к другой калибровке производится путем принятия калибровочной функции как суммы определенной функции, которая дает желаемое калибровочное преобразование и произвольную функцию. Если затем произвольную функцию установить равной нулю, калибровка называется фиксированной. Вычисления могут выполняться в фиксированной калибровке, но должны выполняться таким образом, чтобы калибровочно инвариантно.

Датчик Лоренца

Смотрите также: Ковариантная формулировка классического электромагнетизма

В Датчик Лоренца дается, в SI единиц, по:

${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0}$

И в Гауссовы единицы к:

${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.}$

Это можно переписать как:

${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0.}$

куда ${\displaystyle A^{\mu }=\left[\,{\tfrac {1}{c}}\varphi ,\,\mathbf {A} \,\right]}$ это электромагнитный четырехпотенциальный, ∂_μ то 4-градиентный [с использованием метрическая подпись (+, −, −, −)].

Он уникален среди датчиков ограничений в сохранении манифеста Лоренц-инвариантность. Обратите внимание, однако, что этот датчик был первоначально назван в честь датского физика. Людвиг Лоренц а не после Хендрик Лоренц; это часто неправильно написано "датчик Лоренца". (Ни один из них не был первым, кто использовал его в расчетах; он был введен в 1888 г. Джордж Ф. Фитцджеральд.)

Калибровка Лоренца приводит к следующим неоднородным волновым уравнениям для потенциалов:

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\varphi }={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\mathbf {A} }=\mu _{0}\mathbf {J} }$

Из этих уравнений видно, что в отсутствие тока и заряда решения представляют собой потенциалы, которые распространяются со скоростью света.

Калибровка Лоренца неполный в некотором смысле: остается подпространство калибровочных преобразований, которое также может сохранять ограничение. Эти оставшиеся степени свободы соответствуют калибровочным функциям, удовлетворяющим условию волновое уравнение

${\displaystyle {\partial ^{2}\psi \over \partial t^{2}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi }$

Эти оставшиеся калибровочные степени свободы распространяются со скоростью света. Чтобы получить полностью фиксированную калибровку, необходимо добавить граничные условия вдоль световой конус экспериментальной области.

Уравнения Максвелла в калибровке Лоренца упрощаются до

${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=\mu _{0}j^{\nu }}$

куда ${\displaystyle j^{\nu }=\left[\,c\,\rho ,\,\mathbf {j} \,\right]}$ это четырехканальный.

Два решения этих уравнений для одной и той же токовой конфигурации отличаются решением вакуумного волнового уравнения

${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0}$.

В таком виде ясно, что компоненты потенциала по отдельности удовлетворяют условию Уравнение Клейна – Гордона, и, следовательно, условие калибровки Лоренца допускает поперечное, продольное и "времяподобное" поляризованный волны в четырехпотенциале. Поперечные поляризации соответствуют классическому излучению, т.е. е., поперечно поляризованные волны по напряженности поля. Чтобы подавить «нефизические» продольные и временные поляризационные состояния, которые не наблюдаются в экспериментах на классических масштабах расстояний, необходимо также использовать вспомогательные ограничения, известные как Идентификаторы прихода. Классически эти тождества эквивалентны уравнение неразрывности

${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}$.

Многие различия между классикой и квантовая электродинамика можно объяснить ролью, которую продольная и временная поляризации играют во взаимодействиях между заряженными частицами на микроскопических расстояниях.

р_ξ датчики

В р_ξ датчики являются обобщением калибровки Лоренца, применимым к теориям, выражаемым через принцип действия с Плотность лагранжиана ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$. Вместо того, чтобы фиксировать датчик, ограничивая калибровочное поле априори, с помощью вспомогательного уравнения добавляется калибровка ломка член "физического" (калибровочно-инвариантного) лагранжиана

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=-{\frac {\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}}{2\xi }}}$

Выбор параметра ξ определяет выбор калибра. В Датчик Ландау классически эквивалентна калибровке Лоренца: она получается в пределе ξ → 0, но откладывает принятие этого предела до тех пор, пока теория не будет квантована. Это улучшает строгость некоторых доказательств существования и эквивалентности. Наиболее квантовая теория поля вычисления просты в Датчик Фейнмана – 'Хофта, в котором ξ = 1; некоторые более сговорчивы в других р_ξ датчики, такие как Йенни Калибр ξ = 3.

Эквивалентная формулировка р_ξ датчик использует вспомогательное поле, скалярное поле B без независимой динамики:

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=B\,\partial _{\mu }A^{\mu }+{\frac {\xi }{2}}B^{2}}$

Вспомогательное поле, иногда называемое Месторождение Наканиши-Лаутруп, можно исключить, «дополнив квадрат», чтобы получить прежний вид. С математической точки зрения вспомогательное поле представляет собой разновидность Бозон Голдстоуна, и его использование имеет преимущества при выявлении асимптотические состояния теории, и особенно при обобщении за пределы КЭД.

Исторически сложилось так, что использование р_ξ манометры были значительным техническим достижением в расширении квантовая электродинамика вычисления за пределами однопетлевой заказ. Помимо сохранения манифеста Лоренц-инвариантность, то р_ξ предписание нарушает симметрию относительно локальной калибровки трансформации при сохранении соотношения функциональные меры любых двух физически различных калибров конфигурации. Это позволяет замена переменных в котором бесконечно малые возмущения вдоль "физических" направлений в конфигурационном пространстве полностью отделены от возмущений вдоль "нефизических" направлений, позволяя последним поглощаться физически бессмысленным нормализация из функциональный интеграл. Когда ξ конечно, каждая физическая конфигурация (орбита группы калибровочных преобразований) представлена ​​не одним решением уравнения связи, а гауссовым распределением с центром экстремум срок службы датчика. Что касается Правила Фейнмана теории с фиксированной калибровкой, это появляется как вклад в фотонный пропагатор для внутренних линий из виртуальные фотоны нефизических поляризация.

Фотонный пропагатор, который является мультипликативным фактором, соответствующим внутреннему фотону в Диаграмма Фейнмана расширение расчета QED, содержит множитель грамм_μν соответствующий Метрика Минковского. Разложение этого множителя в виде суммы по поляризациям фотонов включает члены, содержащие все четыре возможные поляризации. Поперечно поляризованное излучение можно математически выразить как сумму либо по линейно или же циркулярно поляризованный основание. Точно так же можно комбинировать продольную и временную калибровочные поляризации для получения «прямой» и «обратной» поляризации; это форма координаты светового конуса в котором метрика недиагональна. Расширение грамм_μν фактор в терминах круговой поляризации (спин ± 1) и координат светового конуса называется сумма спина. Спиновые суммы могут быть очень полезны как для упрощения выражений, так и для получения физического понимания экспериментальных эффектов, связанных с различными членами в теоретических расчетах.

Ричард Фейнман использовали аргументы примерно в этом направлении в основном для обоснования процедур расчета, которые давали согласованные, конечные, высокоточные результаты для важных наблюдаемых параметров, таких как аномальный магнитный момент электрона. Хотя его аргументам иногда не хватало математической строгости даже по стандартам физиков, а такие детали, как вывод Личности Уорда-Такахаши квантовой теории, его расчеты работали, и Фриман Дайсон вскоре продемонстрировал, что его метод по существу эквивалентен методам Джулиан Швингер и Син-Итиро Томонага, с которым Фейнман разделил 1965 г. Нобелевская премия по физике.

Излучение с прямой и обратной поляризацией можно не учитывать в асимптотические состояния квантовой теории поля (см. Идентичность Уорда – Такахаши ). По этой причине, а также поскольку их появление в спиновых суммах можно рассматривать как простой математический прием в КЭД (во многом как электромагнитный четырехпотенциал в классической электродинамике), о них часто говорят как о «нефизических». Но в отличие от описанных выше процедур фиксации калибра на основе ограничений, р_ξ калибр хорошо обобщает неабелев калибровочные группы, такие как SU (3) из QCD. Связи между осями физических и нефизических возмущений не исчезают полностью при соответствующей замене переменных; чтобы получить правильные результаты, необходимо учитывать нетривиальные Якобиан вложения осей калибровочной свободы в пространство детальных конфигураций. Это приводит к явному появлению в диаграммах Фейнмана поляризованных вперед и назад калибровочных бозонов, а также Призраки Фаддеева – Попова, которые еще более «нефизичны», поскольку нарушают спин-статистическая теорема. Связь между этими сущностями и причины, по которым они не появляются как частицы в квантовомеханическом смысле, становятся более очевидными в БРСТ формализм квантования.

Максимальная абелева калибровка

В любом не-Абелева калибровочная теория, любой максимальная абелева калибровка является неполный калибр, который фиксирует свободу калибра за пределами максимальная абелева подгруппа. Примеры

• За SU (2) В калибровочной теории в D-измерениях максимальная абелева подгруппа является подгруппой U (1). Если выбрано это значение, генерируемое Матрица Паули σ₃, то максимальная абелева калибровка - это та, которая максимизирует функцию

${\displaystyle \int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}\right]\,,}$

куда

${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\sigma _{a}\,.}$

• За SU (3) В калибровочной теории в D-измерениях максимальная абелева подгруппа является подгруппой U (1) × U (1). Если выбрано это значение, генерируемое Матрицы Гелл-Манна λ₃ и λ₈, то максимальная абелева калибровка - это та, которая максимизирует функцию

${\displaystyle \int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{4}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{5}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{6}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{7}\right)^{2}\right]\,,}$

куда

${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\lambda _{a}}$

Это регулярно применяется в высших алгебрах (групп в алгебрах), например, в алгебре Клиффорда, и так же регулярно.

Менее используемые датчики

В литературе появились различные другие датчики, которые могут быть полезны в определенных ситуациях.^[1]

Датчик Вейля

В Датчик Вейля (также известный как Гамильтониан или же временная шкала) является неполный калибр, полученный выбором

${\displaystyle \varphi =0}$

Он назван в честь Герман Вейль. Устраняет отрицательную норму призрак, не хватает манифеста Лоренц-инвариантность, и требует продольных фотонов и ограничения на состояния.^[4]

Многополярный датчик

Калибровочное условие многополюсный датчик (также известный как линейный датчик, точечный датчик или же Калибровка Пуанкаре (названный в честь Анри Пуанкаре )) является:

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {A} =0}$.

Это еще одна калибровка, в которой потенциалы могут быть просто выражены через мгновенные поля

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {r} \times \int \limits _{0}^{1}\mathbf {B} (u\mathbf {r} ,t)udu}$

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {r} \cdot \int \limits _{0}^{1}\mathbf {E} (u\mathbf {r} ,t)du.}$

Датчик Фока – Швингера

Калибровочное условие Датчик Фока – Швингера (названный в честь Владимир Фок и Джулиан Швингер; иногда также называют релятивистская калибровка Пуанкаре) является:

${\displaystyle x^{\mu }A_{\mu }=0}$

куда Икс^μ это позиция четырехвекторная.

Датчик Дирака

Нелинейное калибровочное условие Дирака (названное в честь Поль Дирак ) является:

${\displaystyle A_{\mu }A^{\mu }=k^{2}}$

Рекомендации

1. Джексон, Дж. Д. (2002). «От Лоренца к Кулону и другие явные калибровочные преобразования». Американский журнал физики. 70 (9): 917–928. arXiv:физика / 0204034. Bibcode:2002AmJPh..70..917J. Дои:10.1119/1.1491265. S2CID  119652556.
2. Губарев, Ф. В .; Стодольский, Л .; Захаров, В. И. (2001). «О значении квадрата векторного потенциала». Phys. Rev. Lett. 86 (11): 2220–2222. arXiv:hep-ph / 0010057. Bibcode:2001ПхРвЛ..86.2220Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.86.2220. PMID  11289894. S2CID  45172403.
3. Грегори С. Адкинс, Правила Фейнмана КЭД кулоновской калибровки и магнитный момент электрона, Phys. Ред. D36, 1929 (1987). Дои:10.1103 / PhysRevD.36.1929
4. Хэтфилд, Брайан (1992). Квантовая теория поля точечных частиц и струн. Эддисон-Уэсли. С. 210–213. ISBN  0201360799.

дальнейшее чтение

• Ландау, Лев; Лифшиц, Евгений (2007). Классическая теория полей. Амстердам: Эльзевьер Баттерворт Хайнеманн. ISBN  978-0-7506-2768-9.
• Джексон, Дж. Д. (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN  0-471-30932-X.