Теорема Вайнберга – Виттена - Weinberg–Witten theorem

В теоретическая физика, то Вайнберг – Виттен (WW) теорема, доказано Стивен Вайнберг и Эдвард Виттен, утверждает, что безмассовые частицы (составные или элементарные) со спином j > 1/2 не может нести Лоренц-ковариантный ток, а безмассовые частицы со спином j > 1 не может нести лоренц-ковариант стресс-энергия. Теорема обычно интерпретируется как означающая, что гравитон (j = 2) не может быть составной частицей в релятивистской квантовая теория поля.

Задний план

В 80-е годы преон теории разноцветный и тому подобное были очень популярны, и некоторые люди предполагали, что гравитация может быть возникающее явление или это глюоны возможно составной. Вайнберг и Виттен, с другой стороны, разработали непроходимая теорема это исключает, при очень общих предположениях, гипотетические составные и возникающие теории. Спустя десятилетия предлагаются новые теории возникающей гравитации, а некоторые физики высоких энергий до сих пор используют эту теорему, чтобы опровергнуть подобные теории. Поскольку большинство этих возникающих теорий не являются лоренц-ковариантными, теорема WW не применяется. Нарушение Ковариация Лоренца однако обычно приводит к другим проблемам.^{[нужна цитата ]}

Теорема

Вайнберг и Виттен доказали два разных результата. По их словам, первое связано с Сидни Коулман, кто не опубликовал:

• 3 + 1D QFT (квантовая теория поля ) с консервированный 4-вектор текущий ${\displaystyle J^{\mu }}$ (видеть четырехканальный ) который Ковариант Пуанкаре (и калибровочный инвариант если случится что-нибудь калибровочная симметрия чего не было фиксированный ) не допускает безмассовые частицы с участием спиральность |час| > 1/2, которые также имеют ненулевые заряды, связанные с рассматриваемым сохраняющимся током.
• 3 + 1D QFT с ненулевым сохраняющимся тензор энергии-импульса ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ который Ковариант Пуанкаре (и калибровочный инвариант если случится что-нибудь калибровочная симметрия чего не было фиксированный ) не допускает безмассовых частиц со спиральностью |час| > 1.

Набросок доказательства

Сохраненный заряд Q дан кем-то ${\displaystyle \int d^{3}x\,J^{0}}$. Будем рассматривать матричные элементы заряда и тока ${\displaystyle J^{\mu }}$ для одночастичных асимптотических состояний одинаковой спиральности, ${\displaystyle |p\rangle }$ и ${\displaystyle |p'\rangle }$, помеченные своими легкий 4-импульса. Мы рассмотрим случай, когда ${\displaystyle (p-p')}$ не равно нулю, что означает, что передача импульса космический. Позволять q - собственное значение этих состояний для оператора заряда Q, так что:

${\displaystyle {\begin{aligned}q\delta ^{3}({\vec {p}}'-{\vec {p}})=\langle p'|Q|p\rangle &=\int d^{3}x\,\langle p'|J^{0}({\vec {x}},0)|p\rangle \\&=\int d^{3}x\,\langle p'|e^{-i{\vec {P}}\cdot {\vec {x}}}J^{0}(0,0)e^{i{\vec {P}}\cdot {\vec {x}}}|p\rangle \\&=\int d^{3}x\,e^{i({\vec {p}}-{\vec {p}}')\cdot {\vec {x}}}\langle p'|J^{0}(0,0)|p\rangle =(2\pi )^{3}\delta ^{3}({\vec {p}}'-{\vec {p}})\langle p'|J^{0}(0,0)|p\rangle \end{aligned}}}$

где мы теперь использовали трансляционную ковариацию, которая является частью ковариации Пуанкаре. Таким образом:

${\displaystyle \langle p'|J^{0}(0)|p\rangle ={\frac {q}{(2\pi )^{3}}}}$

с участием ${\displaystyle q\neq 0}$.

Превратимся в система отсчета где п движется по положительному zось и п′ Движется по отрицательному z-ось. Это всегда возможно для любого космический передача импульса.

В этой системе отсчета ${\displaystyle \langle p'|J^{0}(0)|p\rangle }$ и ${\displaystyle \langle p'|J^{3}(0)|p\rangle }$ изменение на фазовый коэффициент ${\displaystyle e^{i(h-(-h))\theta }=e^{2ih\theta }}$ под вращения на θ против часовой стрелки вокруг z-axis тогда как ${\displaystyle \langle p'|J^{1}(0)+iJ^{2}(0)|p\rangle }$ и ${\displaystyle \langle p'|J^{1}(0)-iJ^{2}(0)|p\rangle }$ изменение фазовыми факторами ${\displaystyle e^{i(2h+1)\theta }}$ и ${\displaystyle e^{i(2h-1)\theta }}$ соответственно.

Если час отлична от нуля, нам нужно указать фазы состояний. Вообще говоря, это невозможно сделать лоренц-инвариантным способом (см. Прецессия Томаса ), но одночастичное гильбертово пространство является Лоренц-ковариантный. Итак, если мы сделаем произвольный, но фиксированный выбор фаз, то каждый из компонентов матрицы в предыдущем абзаце должен быть инвариантным относительно поворотов относительно z-ось. Итак, если |час| = 0 или 1/2, все компоненты должны быть нулевыми.

Вайнберг и Виттен не предполагать непрерывность

${\displaystyle \langle p|J^{0}(0)|p\rangle =\lim _{p'\rightarrow p}\langle p'|J^{0}(0)|p\rangle }$.

Авторы скорее утверждают, что физический (т. е. измеримые) квантовые числа безмассовой частицы всегда определяются матричными элементами в пределе нулевого импульса, определенными для последовательности пространственноподобных переданных импульсов. Также, ${\displaystyle \delta ^{3}({\vec {p}}'-{\vec {p}})}$ в первом уравнении можно заменить на "размазанный" Дельта-функция Дирака, что соответствует выполнению ${\displaystyle d^{3}x}$ объемный интеграл по конечному ящику.

Доказательство второй части теоремы полностью аналогично с заменой матричных элементов тока на матричные элементы тензора энергии-импульса ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$:

${\displaystyle p^{\mu }=\int d^{3}x\,T^{\mu 0}({\vec {x}},0)}$ и

${\displaystyle \langle p|T^{00}(0)|p\rangle ={\frac {E}{(2\pi )^{3}}}}$

с участием ${\displaystyle E\neq 0}$.

Для пространственноподобной передачи импульса мы можем перейти в систему отсчета, где п′ + п находится вдоль тось и п′ − п находится вдоль z-ось. В этой системе отсчета компоненты ${\displaystyle \langle p'|\mathbf {T} (0)|p\rangle }$ трансформируется как ${\displaystyle e^{i(2h-2)\theta }}$, ${\displaystyle e^{i(2h-1)\theta }}$,${\displaystyle e^{i(2h)\theta }}$, ${\displaystyle e^{i(2h+1)\theta }}$ или ${\displaystyle e^{i(2h+2)\theta }}$ при повороте на θ вокруг z-ось. Аналогичным образом можно сделать вывод, что ${\displaystyle |h|=0,{\frac {1}{2}},1}$

Обратите внимание, что эта теорема также применима к свободное поле теории. Если они содержат безмассовые частицы с «неправильной» спиральностью / зарядом, они должны быть калибровочными теориями.

Исключение новых теорий

Какое отношение эта теорема имеет к эмерджентным / составным теориям?

Если предположить, что гравитация - это новая теория фундаментально плоской теории над плоской Пространство-время Минковского, затем по Теорема Нётер, имеем сохраняющийся тензор энергии-импульса, ковариантный по Пуанкаре. Если теория обладает внутренней калибровочной симметрией (типа Янга – Миллса), мы можем выбрать Тензор энергии-импульса Белинфанте – Розенфельда которое калибровочно-инвариантно. Поскольку нет фундаментального диффеоморфизм симметрии, нам не нужно беспокоиться о том, что этот тензор не является BRST-замкнутым относительно диффеоморфизмов. Итак, применяется теорема Вайнберга – Виттена, и мы не можем получить безмассовый спин-2 (т.е. спиральность ± 2) составной / Emergent гравитон.

Если у нас есть теория с фундаментальным сохраняющимся 4-током, связанным с глобальная симметрия, то у нас не может быть эмерджентных / составных безмассовых частиц со спином 1, заряженных согласно этой глобальной симметрии.

Теории, к которым теорема неприменима

Неабелевы калибровочные теории

Есть несколько способов понять, почему неабелевский Ян – Миллс теории в Кулоновская фаза не нарушайте эту теорему. Теории Янга – Миллса не имеют никакого сохраняющегося 4-тока, связанного с зарядами Янга – Миллса, которые являются как ковариантными по Пуанкаре, так и калибровочно-инвариантными. Теорема Нётер дает ток, который сохраняется и ковариантен по Пуанкаре, но не является калибровочно-инвариантным. Как |п> действительно является элементом BRST когомологии, т.е. факторное пространство, это действительно класс эквивалентности состояний. В качестве таких, ${\displaystyle \langle p'|J|p\rangle }$ корректно определено, только если J BRST-замкнуто. Но если J не является калибровочно-инвариантным, то J не является BRST-закрытым в целом. Ток определяется как ${\displaystyle J^{\mu }(x)\equiv {\frac {\delta }{\delta A_{\mu }(x)}}S_{\mathrm {matter} }}$ не сохраняется, потому что удовлетворяет ${\displaystyle D_{\mu }J^{\mu }=0}$ вместо ${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0}$ где D - ковариантная производная. Ток, определенный после фиксации датчика, как Кулоновский калибр сохраняется, но не является ковариантным по Лоренцу.

Спонтанно нарушенные калибровочные теории

В калибровочные бозоны связана с самопроизвольно сломанный симметрии массивны. Например, в QCD, мы электрически заряжены ро-мезоны что можно описать спонтанно возникающей скрытой калибровочной симметрией. Поэтому в принципе ничто не мешает нам иметь составные преонные модели W и Z-бозоны.

На аналогичной ноте, хотя фотон заряжается при слабой симметрии SU (2) (поскольку это калибровочный бозон связанный с линейной комбинацией слабого изоспина и гиперзаряда), он также движется через конденсат таких зарядов и, следовательно, не является точным собственным состоянием слабых зарядов, и эта теорема также не применима.

Массивная гравитация

Аналогичным образом можно иметь составную / возникающую теорию массивная гравитация.

Общая теория относительности

В GR имеются диффеоморфизмы, и A | ψ> (над элементом | ψ> BRST-когомологий) имеет смысл, только если A BRST-замкнута. Не существует локальных BRST-замкнутых операторов, включая любой тензор энергии-импульса, который мы только можем придумать.

В качестве альтернативного объяснения обратите внимание, что тензор напряжений для чистого ОТО обращается в нуль (это утверждение эквивалентно вакуумному уравнению Эйнштейна), а тензор напряжений для ОТО, связанного с материей, является просто тензором напряжения материи. Последний не сохраняется, ${\displaystyle \partial ^{\mu }T_{\mu \nu }^{\text{matter}}\neq 0}$, скорее ${\displaystyle \nabla ^{\mu }T_{\mu \nu }^{\text{matter}}=0}$ где ${\displaystyle \nabla ^{\mu }}$ - ковариантная производная.

Индуцированная гравитация

В индуцированной гравитации фундаментальная теория также инвариантна к диффеоморфизму, и применимо то же самое замечание.

Двойственность Зайберга

Если взять N = 1 хиральный супер QCD с N_c цвета и N_ж ароматы с участием ${\displaystyle N_{f}-2\geq N_{c}>{\frac {2}{3}}N_{f}}$, то по Двойственность Зайберга, эта теория двойственна неабелевский ${\displaystyle SU(N_{f}-N_{c})}$ калибровочная теория, которая является тривиальной (т.е. свободной) в инфракрасный предел. Таким образом, двойственная теория не страдает ни проблемой инфрачастиц, ни непрерывным спектром масс. Несмотря на это, дуальная теория все еще является неабелевой теорией Янга – Миллса. Из-за этого двойной магнитный ток по-прежнему страдает теми же проблемами, даже если это «возникающий ток». Свободные теории не освобождаются от теоремы Вайнберга – Виттена.

Конформная теория поля

В конформной теории поля единственными действительно безмассовыми частицами являются невзаимодействующие синглтоны (видеть одноэлементное поле ). Остальные "частицы" / связанные состояния имеют непрерывный масс-спектр которое может принимать любую сколь угодно малую ненулевую массу. Таким образом, мы можем иметь связанные состояния со спином 3/2 и спином 2 с произвольно малыми массами, но при этом не нарушать теорему. Другими словами, они инфрачастицы.

Инфрачастицы

Две идентичные заряженные инфрачастицы, движущиеся с разными скоростями, принадлежат разным секторы суперотбора. Скажем, у них есть моменты п' и п соответственно. Тогда как J^μ(0) - местный нейтральный оператор, он не отображается между разными секторами супервыбора. Так, ${\displaystyle <p'|J^{\mu }(0)|p>}$

} равно нулю. Единственный способ |п′ '> И |п> могут принадлежать к одному сектору, если они имеют одинаковую скорость, что означает, что они пропорциональны друг другу, то есть передача нулевого или нулевого импульса, что не рассматривается в доказательстве. Итак, инфрачастицы нарушают предположение о непрерывности

${\displaystyle \langle p|J^{0}(0)|p\rangle =\lim _{p'\rightarrow p}\langle p'|J^{0}(0)|p\rangle }$

Это, конечно, не означает, что импульс заряженной частицы не может измениться на некоторый пространственно-подобный импульс. Это означает только то, что если входящее состояние является состоянием одной инфрачастицы, то исходящее состояние содержит инфрачастицу вместе с рядом мягких квантов. Это не что иное, как неизбежное тормозное излучение. Но это также означает, что исходящее состояние не является одночастичным.

Теории с нелокальными зарядами

Очевидно, что нелокальный заряд не имеет локального 4-тока, а теория с нелокальным 4-импульсом не имеет локального тензора энергии-импульса.

Акустическая метрика теории и аналоговая модель гравитации

Эти теории не являются лоренц-ковариантными. Однако некоторые из этих теорий могут привести к приближенной эмерджентной симметрии Лоренца при низких энергиях, так что мы можем и съесть торт, и съесть его.

Теория суперструн

Теория суперструн, определенная над фоновой метрикой (возможно, с некоторыми потоками) над 10-мерным пространством, которое является продуктом плоского 4-мерного пространства Минковского и компактного 6-мерного пространства, имеет безмассовый гравитон в своем спектре. Это возникающая частица, возникающая из-за колебаний суперструны. Давайте посмотрим, как мы будем определять тензор энергии-импульса. Фон задается g (метрика) и парой других полей. В эффективное действие это функционал фона. В VEV тензора энергии-импульса тогда определяется как функциональная производная

${\displaystyle T^{MN}(x)\equiv {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta }{\delta g_{MN}(x)}}\Gamma [{\text{background}}].}$

Оператор энергии-напряжения определяется как вершинный оператор соответствующее этому бесконечно малому изменению фоновой метрики.

Не все фоны допустимы. Суперструны должны иметь суперконформный симметрия, которая является суперобобщением Симметрия Вейля, чтобы быть согласованными, но они являются суперконформными только при распространении по некоторым специальным фонам (которые удовлетворяют Уравнения поля Эйнштейна плюс некоторые исправления более высокого порядка). Из-за этого эффективное действие определяется только для этих специальных фонов, а функциональная производная не определена четко. Вершинный оператор для тензора энергии-импульса в точке также не существует.

использованная литература

• Вайнберг, Стивен; Виттен, Эдвард (1980). «Пределы безмассовых частиц». Письма по физике B. 96 (1–2): 59–62. Bibcode:1980ФЛБ ... 96 ... 59Вт. Дои:10.1016/0370-2693(80)90212-9.
• Дженкинс, Алехандро (2006). Темы физики элементарных частиц и космологии за пределами стандартной модели (Тезис). arXiv:hep-th / 0607239. Bibcode:2006ФДТ ........ 96J. (подробный обзор см. в главе 2)