Теория гравитации Нордстрёма - Nordströms theory of gravitation - Wikipedia

В теоретическая физика, Теория гравитации Нордстрёма был предшественником общая теория относительности. Собственно говоря, действительно было два различные теории, предложенные финским физиком-теоретиком Гуннар Нордстрём, в 1912 и 1913 годах соответственно. Первый был быстро отклонен, но второй стал первым известным примером метрическая теория гравитации, в котором эффекты гравитации полностью рассматриваются в терминах геометрии изогнутой пространство-время.

Ни одна из теорий Нордстрёма не согласуется с наблюдениями и экспериментами. Тем не менее, первое по-прежнему представляет интерес, поскольку привело ко второму. Вторая по-прежнему представляет интерес как важная веха на пути к современной теории гравитации. общая теория относительности, и как простой пример самосогласованной релятивистской теории гравитации. Например, эта теория особенно полезна в контексте педагогических дискуссий о том, как вывести и проверить предсказания метрической теории гравитации.

Развитие теорий

Теории Нордстрёма возникли в то время, когда несколько ведущих физиков, в том числе Нордстрём в Хельсинки, Макс Абрахам в Милан, Густав Мие в Грайфсвальд, Германия и Альберт Эйнштейн в Прага, все пытались создать конкурирующие релятивистский теории гравитации.

Все эти исследователи начали с попытки соответствующим образом модифицировать существующую теорию, теория поля версия теории тяготения Ньютона. В этой теории уравнение поля это Уравнение Пуассона ${\displaystyle \Delta \phi =4\pi \rho }$, куда ${\displaystyle \phi }$ это гравитационный потенциал и ${\displaystyle \rho }$ это плотность вещества, дополненная уравнением движения для тестовая частица в окружающем гравитационном поле, которое мы можем получить изЗакон силы Ньютона и в котором говорится, что ускорение пробной частицы задается градиент потенциала

${\displaystyle {\frac {d{\vec {u}}}{dt}}=-\nabla \phi }$

Эта теория не является релятивистской, потому что уравнение движения относится к координатному времени, а не к подходящее время, и поскольку, если вещество в каком-то изолированном объекте внезапно перераспределится в результате взрыва, уравнение поля требует, чтобы потенциал повсюду в «космосе» был «обновлен» мгновенно, что нарушает принцип, согласно которому любая "новость", имеющая физическое воздействие (в данном случае влияние на тестовая частица движение вдали от источника поля) не может передаваться быстрее, чем скорость света. Бывший профессор математического анализа Эйнштейна, Герман Минковски набросал векторную теорию гравитации еще в 1908 году, но в 1912 году Абрахам указал, что ни одна такая теория не допускает стабильных планетных орбит. Это была одна из причин, по которой Нордстрем обратился к скалярным теориям гравитации (в то время как Эйнштейн исследовал тензорные теории).

Первая попытка Нордстрема предложить подходящее уравнение гравитации для релятивистского скалярного поля была самым простым и естественным выбором, который только можно вообразить: просто заменить Лапласиан в уравнении поля Ньютона с Даламбертиан или волновой оператор, который дает ${\displaystyle \Box \phi =4\pi \,\rho }$. Это приводит к замене уравнения вакуумного поля на Уравнение лапласа к волновое уравнение, что означает, что любые «новости» о перераспределении материи в одном месте передаются со скоростью света в другие места. Соответственно, простейшая догадка для подходящего уравнения движения для пробных частиц может показаться такой: ${\displaystyle {\dot {u}}_{a}=-\phi _{,a}}$ где точка означает дифференцирование по собственному времени, нижние индексы после запятой обозначают частичное дифференцирование по индексированной координате, а где ${\displaystyle u^{a}}$ это четырехвекторная скорость тестовой частицы. Этот закон силы ранее был предложен Авраамом, и Нордстрем знал, что он не сработает. Вместо этого он предложил ${\displaystyle {\dot {u}}_{a}=-\phi _{,a}-{\dot {\phi }}\,u_{a}}$.

Однако эта теория неприемлема по разным причинам. Два возражения являются теоретическими. Во-первых, эта теория не выводится из Лагранжиан, в отличие от ньютоновской теории поля (или большинства метрических теорий гравитации). Во-вторых, предлагаемое уравнение поля является линейным. Но по аналогии с электромагнетизм, следует ожидать, что гравитационное поле переносит энергию, и на основании работы Эйнштейна по теория относительности, мы должны ожидать, что эта энергия будет эквивалентна массе и, следовательно, будет притягиваться. Это означает, что уравнение поля должно быть нелинейный. Другое возражение более практично: эта теория резко расходится с наблюдениями.

Эйнштейн и фон Лауэ предположили, что проблема может заключаться в уравнении поля, которое, по их мнению, должно иметь линейную форму ${\displaystyle FT_{\rm {matter}}=\rho }$, где F - некоторая пока неизвестная функция от ${\displaystyle \phi }$, а где T_{иметь значение} это след из тензор энергии-импульса описывающий плотность, импульс и напряжение любого присутствующего вещества.

В ответ на эту критику Нордстрем предложил свою вторую теорию в 1913 году. Из пропорциональности инерционной и гравитационной массы он вывел, что уравнение поля должно быть ${\displaystyle \phi \,\Box \phi =-4\pi \,T_{\rm {matter}}}$, что является нелинейным. Нордстрём теперь принял уравнение движения как

${\displaystyle {\frac {d\left(\phi \,u_{a}\right)}{ds}}=-\phi _{,a}}$

или же ${\displaystyle \phi \,{\dot {u}}_{a}=-\phi _{,a}-{\dot {\phi }}\,u_{a}}$.

Эйнштейн воспользовался первой возможностью, чтобы заявить о своем одобрении новой теории. В программном обращении к ежегодному собранию Общества немецких ученых и врачей, сделанному в Вена 23 сентября 1913 года Эйнштейн проанализировал состояние дел, заявив, что только его собственная работа с Марсель Гроссманн и вторая теория Нордстрёма достойны рассмотрения. (Ми, находившаяся в аудитории, возмутилась, но Эйнштейн объяснил свои критерии, и Ми был вынужден признать, что его собственная теория им не соответствовала.) Эйнштейн рассмотрел особый случай, когда единственное существующее вещество - это облако пыль (это идеальная жидкость в котором предполагается, что давление незначительно). Он утверждал, что вклад этого вещества в тензор энергии-импульса должен быть:

${\displaystyle \left(T_{\rm {matter}}\right)_{ab}=\phi \,\rho \,u_{a}\,u_{b}}$

Затем он вывел выражение для тензора энергии-импульса гравитационного поля во второй теории Нордстрема:

${\displaystyle 4\pi \,\left(T_{\rm {grav}}\right)_{ab}=\phi _{,a}\,\phi _{,b}-1/2\,\eta _{ab}\,\phi _{,m}\,\phi ^{,m}}$

которые, как он предложил, должны выполняться в целом, и показали, что сумма вкладов в тензор энергии-импульса от энергии гравитационного поля и от вещества будет консервированный, как и должно быть. Кроме того, он показал, что уравнение поля второй теории Нордстрёма следует из лагранжиана

${\displaystyle L={\frac {1}{8\pi }}\,\eta ^{ab}\,\phi _{,a}\,\phi _{,b}-\rho \,\phi }$

Поскольку уравнение движения Нордстрёма для пробных частиц в окружающем гравитационном поле также следует из лагранжиана, это показывает, что вторая теория Нордстрёма может быть выведена из принцип действия а также показывает, что он подчиняется другим свойствам, которые мы должны требовать от самосогласованной теории поля.

Между тем, одаренный голландский студент, Адриан Фоккер написал докторскую диссертацию. диссертация по Хендрик Лоренц в котором он получил то, что сейчас называется Уравнение Фоккера – Планка. Лоренц, обрадованный успехами своего бывшего студента, организовал для Фоккера возможность продолжить учебу в докторантуре у Эйнштейна в Праге. Результатом стала историческая статья, появившаяся в 1914 году, в которой Эйнштейн и Фоккер заметили, что лагранжиан для уравнения движения Нордстрёма для пробных частиц ${\displaystyle L=\phi ^{2}\,\eta _{ab}\,{\dot {u}}^{a}\,{\dot {u}}^{b}}$, это геодезический лагранжиан для изогнутого Лоренцево многообразие с метрический тензор ${\displaystyle g_{ab}=\phi ^{2}\,\eta _{ab}}$. Если мы примем Декартовы координаты с линейным элементом ${\displaystyle d\sigma ^{2}=\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$ с соответствующим волновым оператором ${\displaystyle \Box }$ на плоском фоне, или Пространство-время Минковского, так что линейный элемент искривленного пространства-времени равен ${\displaystyle ds^{2}=\phi ^{2}\,\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$, то Скаляр Риччи этого искривленного пространства-времени просто

${\displaystyle R=-{\frac {6\,\Box \phi }{\phi ^{3}}}}$

Следовательно, уравнение поля Нордстрёма становится просто

${\displaystyle R=24\pi \,T}$

где в правой части мы взяли след тензора энергии-импульса (с вкладами материи плюс любые негравитационные поля) с помощью метрического тензора ${\displaystyle g_{ab}}$. Это исторический результат, потому что здесь впервые мы имеем уравнение поля, в котором в левой части стоит чисто геометрическая величина (скаляр Риччи - это след Тензор Риччи, который сам по себе является своего рода следом четвертого ранга Тензор кривизны Римана ), а справа стоит чисто физическая величина - след тензора энергии-импульса. Эйнштейн радостно указал, что это уравнение теперь принимает форму, которую он ранее предложил с фон Лауэ, и дает конкретный пример класса теорий, которые он изучал с Гроссманом.

Некоторое время спустя, Герман Вейль представил Тензор кривизны Вейля ${\displaystyle C_{abcd}}$, который измеряет отклонение лоренцевого многообразия от конформно плоский, т.е. с метрическим тензором, имеющим вид произведения некоторой скалярной функции на метрический тензор плоского пространства-времени. Это как раз особая форма метрики, предложенная во второй теории Нордстрёма, поэтому все содержание этой теории можно резюмировать в следующих двух уравнениях:

${\displaystyle R=24\pi \,T,\;\;\;C_{abcd}=0}$

Особенности теории Нордстрёма

Вторая теория Нордстрёма привлекла Эйнштейна своей простотой.^{[нужна цитата ]} В вакуум уравнения поля в теории Нордстрема просто

${\displaystyle R=0,\;\;\;C_{abcd}=0}$

Мы можем сразу записать Общее вакуумное решение в теории Нордстрёма:

${\displaystyle ds^{2}=\exp(2\psi )\,\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b},\;\;\;\Box \psi =0}$

куда ${\displaystyle \phi =\exp(\psi )}$ и ${\displaystyle d\sigma ^{2}=\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$ является линейным элементом для плоского пространства-времени в любой удобной координатной карте (такой как цилиндрические, полярные сферические или двойные нулевые координаты), и где ${\displaystyle \Box }$ - обыкновенный волновой оператор в плоском пространстве-времени (выраженный в цилиндрических, полярных сферических или двойных нулевых координатах, соответственно). Но общее решение обычного трехмерного волнового уравнения хорошо известно, и ему можно придать довольно явный вид. В частности, для определенных диаграмм, таких как цилиндрические или полярные сферические диаграммы на плоском пространстве-времени (которые индуцируют соответствующие диаграммы на нашем искривленном лоренцевом многообразии), мы можем записать общее решение в терминах степенного ряда, и мы можем написать общее решение некоторых Задачи Коши в манере, знакомой по Потенциалы Льенара-Вихерта в электромагнетизме.

В любом решении полевых уравнений Нордстрёма (вакуумном или ином), если мы рассмотрим ${\displaystyle \psi }$ как контроль конформное возмущение из плоского пространства-времени, затем в первую очередь в ${\displaystyle \psi }$ у нас есть

${\displaystyle ds^{2}=\exp(2\,\psi )\,\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}\approx (1+2\psi )\,\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$

Таким образом, в приближении слабого поля можно отождествить ${\displaystyle \psi }$ с ньютоновским гравитационным потенциалом, и мы можем рассматривать его как контролирующий маленький конформное возмущение от плоский космический фон.

В любой метрической теории гравитации все гравитационные эффекты возникают из-за кривизны метрики. В модели пространства-времени в теории Нордстрёма (но не в общей теории относительности) это зависит только от след тензора энергии-импульса. Но энергия поля электромагнитного поля вносит вклад в тензор энергии-импульса, который равен бесследный, так Согласно теории Нордстрёма, энергия электромагнитного поля не тяготеет! В самом деле, поскольку каждое решение уравнений поля этой теории представляет собой пространство-время, которое, помимо прочего, конформно эквивалентно плоскому пространству-времени, нулевые геодезические должны согласовываться с нулевыми геодезическими плоского фона, поэтому эта теория не может показать отклонения света.

Кстати, то, что след тензора энергии-импульса для электровакуумный раствор (решение, в котором нет ни материи, ни каких-либо негравитационных полей, кроме электромагнитного), обращается в нуль, показывает, что в общем электровакуумный раствор в теории Нордстрема метрический тензор имеет ту же форму, что и в вакуумном решении, поэтому нам нужно только записать и решить искривленное пространство-время уравнения поля Максвелла. Но это конформно инвариантный, поэтому мы также можем записать общий электровакуумный раствор, скажем, в терминах степенного ряда.

В любом лоренцевом многообразии (с соответствующими тензорными полями, описывающими любую материю и физические поля), которое является решением полевых уравнений Нордстрёма, конформная часть тензора Римана (т. Е. Тензора Вейля) всегда равна нулю. Скаляр Риччи также одинаково обращается в нуль в любой области вакуума (или даже в любой области, свободной от материи, но содержащей электромагнитное поле). Есть ли какие-либо дополнительные ограничения на тензор Римана в теории Нордстрёма?

Чтобы выяснить это, обратите внимание, что важное тождество из теории многообразий, Разложение Риччи, разбивает тензор Римана на три части, каждый из которых представляет собой тензор четвертого ранга, построенный, соответственно, из Скаляр Риччи, то бесследный тензор Риччи

${\displaystyle S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}\,R\,g_{ab}}$

и Тензор Вейля. Отсюда сразу следует, что теория Нордстрёма оставляет бесследный тензор Риччи, полностью не ограниченный алгебраическими соотношениями (кроме свойства симметрии, которым всегда обладает этот тензор второго ранга). Но с учетом дважды сокращенного и упущенного Бьянки идентичность, дифференциальное тождество, справедливое для Тензор Римана в любом (полу) -Риманово многообразие, мы видим, что в теории Нордстрёма, как следствие уравнений поля, мы имеем ковариантное дифференциальное уравнение первого порядка

${\displaystyle {{S_{a}}^{b}}_{;b}=6\,\pi \,T_{;a}}$

который ограничивает полуследовую часть тензора Римана (построенного из бесследового тензора Риччи).

Таким образом, согласно теории Нордстрема, в области вакуума только полуследная часть тензора Римана может быть отличной от нуля. Тогда наше ковариантное дифференциальное ограничение на ${\displaystyle S_{ab}}$ показывает, как вариации следа тензора энергии-импульса в нашей модели пространства-времени могут порождать ненулевой бесследный тензор Риччи и, следовательно, ненулевую полуследовую кривизну, которая может распространяться в область вакуума. Это критически важно, потому что иначе гравитация, согласно этой теории, не была бы дальнодействующей силой, способной распространяться в вакууме..

В общей теории относительности происходит нечто похожее, но здесь Тензор Риччи которое обращается в нуль в любой области вакуума (но нет в области, свободной от вещества, но содержащей электромагнитное поле), и это Кривизна Вейля который генерируется (через другое ковариантное дифференциальное уравнение первого порядка) вариациями тензора энергии-импульса и затем распространяется в области вакуума, превращая гравитацию в силу дальнего действия, способную распространяться через вакуум.

Мы можем свести в таблицу основные различия между теорией Нордстрёма и общей теорией относительности следующим образом:

Сравнение теории Нордстрёма с общей теорией относительности

	тип кривизны	Nordström	Эйнштейн
${\displaystyle R}$	скаляр	исчезает в электровакууме	исчезает в электровакууме
${\displaystyle S_{ab}}$	когда-то бесследно	ненулевое значение для гравитационного излучения	исчезает в вакууме
${\displaystyle C_{abcd}}$	полностью бесследный	всегда исчезает	ненулевое значение для гравитационного излучения

Еще одна особенность теории Нордстрема состоит в том, что ее можно записать как теорию некоторого скалярного поля в Пространство-время Минковского, и в этой форме имеет ожидаемый закон сохранения негравитационной массы-энергии вместе с энергия гравитационного поля, но страдает не очень запоминающимся силовым законом. В формулировке искривленного пространства-времени описывается движение пробных частиц (мировая линия свободной пробной частицы является времяподобной геодезической, и по очевидному пределу мировая линия лазерного импульса является нулевой геодезической), но мы теряем закон сохранения закон. Итак, какая интерпретация верна? Другими словами, какая метрика, согласно Нордстрёму, может быть измерена локально с помощью физических экспериментов? Ответ таков: искривленное пространство-время является физически наблюдаемым в этой теории (как и во всех метрических теориях гравитации); плоский фон - это просто математическая фикция, которая, однако, имеет неоценимую ценность для таких целей, как запись общего вакуумного решения или изучение предела слабого поля.

На этом этапе мы могли бы показать, что в пределе медленно движущихся пробных частиц и медленно развивающихся слабых гравитационных полей теория гравитации Нордстрема сводится к ньютоновской теории гравитации. Вместо того, чтобы показывать это подробно, мы перейдем к подробному изучению двух наиболее важных решений в этой теории:

• сферически-симметричные статические асимптотически плоские вакуумные решения
• общее решение вакуумной гравитационной плоской волны в этой теории.

Мы будем использовать первое, чтобы получить предсказания теории Нордстрема для четырех классических проверок релятивистской теории гравитации Солнечной системы (в окружающем поле изолированного сферически-симметричного объекта), а второе мы будем использовать для сравнения гравитационного излучения в теории Нордстрема и в общей теории относительности Эйнштейна.

Статическое сферически-симметричное асимптотически плоское вакуумное решение

Решения статического вакуума в теории Нордстрёма - это лоренцевы многообразия с метрикой вида

${\displaystyle ds^{2}=\exp(2\psi )\,\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b},\;\;\Delta \psi =0}$

где мы можем взять оператор Лапласа плоского пространства-времени справа. Для первого заказа в ${\displaystyle \psi }$, показатель становится

${\displaystyle ds^{2}=(1+2\,\psi )\,\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$

куда ${\displaystyle \eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$ - метрика пространства-времени Минковского (плоский фон).

Метрика

Принимая полярные сферические координаты и используя известные сферически-симметричные асимптотически исчезающие решения уравнения Лапласа, мы можем записать желаемое точное решение в качестве

${\displaystyle ds^{2}=(1-m/\rho )\,\left(-dt^{2}+d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2})\right)}$

где мы оправдываем свой выбор постоянных интегрирования тем фактом, что это единственный выбор, дающий правильный ньютоновский предел. Это дает решение в терминах координат, которые прямо демонстрируют тот факт, что это пространство-время конформно эквивалентно пространству-времени Минковского, но радиальная координата в этой таблице не сразу допускает прямую геометрическую интерпретацию. Поэтому мы принимаем координаты Шварцшильда, используя преобразование ${\displaystyle r=\rho \,(1-m/\rho )}$, что приводит метрику к виду

${\displaystyle ds^{2}=(1+m/r)^{-2}\,(-dt^{2}+dr^{2})+r^{2}\,(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2})}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\;0<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Здесь r теперь имеет простую геометрическую интерпретацию, что площадь поверхности координатной сферы ${\displaystyle r=r_{0}}$ просто ${\displaystyle 4\pi \,r_{0}^{2}}$.

Как и в соответствующем статическом сферически-симметричном асимптотически плоском решении ОТО, это решение допускает четырехмерное Группа Ли изометрий, или, что то же самое, четырехмерного (реального) Алгебра Ли из Вектор убийства поля. Их легко определить как

${\displaystyle \partial _{t}}$ (перевод во времени)

${\displaystyle \partial _{\phi }}$ (вращение вокруг оси через начало координат)

${\displaystyle -\cos(\phi )\,\partial _{\theta }+\cot(\theta )\,\sin(\phi )\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle \sin(\phi )\,\partial _{\theta }+\cot(\theta )\,\cos(\phi )\,\partial _{\phi }}$

Это точно такие же векторные поля, которые возникают в координатной карте Шварцшильда для Вакуумное решение Schwarzschild общей теории относительности, и они просто выражают тот факт, что это пространство-время статично и сферически симметрично.

Геодезические

Уравнения геодезических легко получаются из лагранжиана геодезических. Как всегда, это нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка.

Если мы установим ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ мы обнаруживаем, что движение пробной частицы, ограниченное экваториальной плоскостью, возможно, и в этом случае легко получить первые интегралы (обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка). Во-первых, у нас есть

${\displaystyle {\dot {t}}=E\,\left(1+m/r\right)^{2}\approx E\,\left(1+2m/r\right)}$

где до первого порядка по m получаем тот же результат, что и для вакуума Шварцшильда. Это также показывает, что теория Нордстрёма согласуется с результатом Эксперимент Паунда – Ребки. Во-вторых, у нас есть

${\displaystyle {\dot {\phi }}=L/r^{2}}$

что является тем же результатом, что и для вакуума Шварцшильда. Это выражает сохранение орбитального углового момента пробных частиц, движущихся в экваториальной плоскости, и показывает, что период почти круговой орбиты (наблюдаемой удаленным наблюдателем) будет таким же, как и для вакуума Шварцшильда. В-третьих, с ${\displaystyle \epsilon =-1,0,1}$ для времениподобных, нулевых, пространственноподобных геодезических мы находим

${\displaystyle {\frac {{\dot {r}}^{2}}{\left(1+m/r\right)^{4}}}=E^{2}-V}$

куда

${\displaystyle V={\frac {L^{2}/r^{2}-\epsilon }{\left(1+m/r\right)^{2}}}}$

это своего рода эффективный потенциал. Во времениподобном случае отсюда мы видим, что существуют стабильные круговые орбиты в ${\displaystyle r_{c}=L^{2}/m}$, что полностью согласуется с теорией Ньютона (если не учитывать тот факт, что теперь угловатый но не радиальный дистанционная интерпретация r согласуется с представлениями о плоском пространстве). Напротив, в вакууме Шварцшильда мы должны упорядочить по m выражение ${\displaystyle r_{c}\approx L^{2}/m-3m}$. В некотором смысле дополнительный член здесь является результатом нелинейности вакуумного уравнения поля Эйнштейна.

Статические наблюдатели

Имеет смысл спросить, сколько силы требуется, чтобы удерживать пробную частицу с данной массой над массивным объектом, который, как мы предполагаем, является источником этого статического сферически-симметричного гравитационного поля. Чтобы выяснить это, нам нужно только принять простой поле кадра

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\left(1+m/r\right)\,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{1}=\left(1+m/r\right)\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

Тогда ускорение мировой линии нашей тестовой частицы просто

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}={\frac {m}{r^{2}}}\,{\vec {e}}_{1}}$

Таким образом, частица должна оставаться в радиальном направлении наружу, чтобы сохранять свое положение, с величиной, заданной знакомым ньютоновским выражением (но опять же, мы должны иметь в виду, что здесь радиальную координату нельзя полностью отождествить с радиальной координатой плоского пространства). Другими словами, это «ускорение свободного падения», измеренное статическим наблюдателем, который использует ракетный двигатель для сохранения своего положения. В отличие от второй порядка m, в вакууме Шварцшильда величина радиального наружного ускорения статического наблюдателя равна m r⁻² + м ^ 2 г⁻³; и здесь второй член выражает тот факт, что гравитация Эйнштейна немного сильнее «в соответствующих точках», чем гравитация Нордстрёма.

Тензор приливов, измеренный статическим наблюдателем, равен

${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}={\frac {m}{r^{3}}}\,{\rm {diag}}(-2,1,1)+{\frac {m^{2}}{r^{4}}}\,{\rm {diag}}(-1,1,1)}$

где мы берем ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}}$. Первый член согласуется с соответствующим решением в ньютоновской теории гравитации и в общей теории относительности. Второй член показывает, что приливные силы немного сильнее в гравитации Нордстрема, чем в гравитации Эйнштейна.

Экстра-ньютоновская прецессия периастрии

При обсуждении уравнений геодезических мы показали, что в экваториальной координатной плоскости ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ у нас есть

${\displaystyle {\dot {r}}^{2}=(E^{2}-V)\;(1+m/r)^{4}}$

куда ${\displaystyle V=(1+L^{2}/r^{2})/(1+m/r)^{2}}$ для времениподобной геодезической. Дифференцируя по собственному времени s, получаем

${\displaystyle 2{\dot {r}}{\ddot {r}}={\frac {d}{dr}}\left((E^{2}-V)\,(1+m/r)^{4}\right)\;{\dot {r}}}$

Разделив обе стороны на ${\displaystyle {\dot {r}}}$ дает

${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {1}{2}}\,{\frac {d}{dr}}\left((E^{2}-V)\,(1+m/r)^{4}\right)}$

Ранее мы обнаружили, что минимум V приходится на ${\displaystyle r_{c}=L^{2}/m}$ куда ${\displaystyle E_{c}=L^{2}/(L^{2}+m^{2})}$. Оценивая производную, используя наши предыдущие результаты, и устанавливая ${\displaystyle \varepsilon =r-L^{2}/m^{2}}$, мы нашли

${\displaystyle {\ddot {\varepsilon }}=-{\frac {m^{4}}{L^{8}}}\,(m^{2}+L^{2})\,\varepsilon +O(\varepsilon ^{2})}$

что является (в первом порядке) уравнением простые гармонические колебания.

Другими словами, почти круговые орбиты будут демонстрировать радиальные колебания. Однако, в отличие от того, что происходит при ньютоновской гравитации, период этого колебания не совсем соответствует орбитальному периоду. Это приведет к медленной прецессии периастрий (точек наибольшего сближения) нашей почти круговой орбиты, или, что более ярко, к медленному вращению длинной оси квазикеплеровской почти эллиптической орбиты. Конкретно,

${\displaystyle \omega _{\rm {shm}}\approx {\frac {m^{2}}{L^{4}}}\,{\sqrt {m^{2}+L^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}\,{\sqrt {m^{2}+mr}}}$

(где мы использовали ${\displaystyle L={\sqrt {mr}}}$ и удалил нижний индекс из ${\displaystyle r_{c}}$), в то время как

${\displaystyle \omega _{\rm {orb}}={\frac {L}{r^{2}}}={\sqrt {m/r^{3}}}}$

Расхождение

${\displaystyle \Delta \omega =\omega _{\rm {orb}}-\omega _{\rm {shm}}={\sqrt {\frac {m}{r^{3}}}}-{\sqrt {{\frac {m^{2}}{r^{4}}}+{\frac {m}{r^{3}}}}}\approx -{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {m^{3}}{r^{5}}}}}$

так что задержка периастриона на орбиту равна

${\displaystyle \Delta \phi =2\pi \,\Delta \omega \approx -\pi \,{\sqrt {\frac {m^{3}}{r^{5}}}}}$

и до первого порядка по м длинная ось почти эллиптической орбиты вращается со скоростью

${\displaystyle {\frac {\Delta \phi }{\omega _{\rm {orb}}}}\approx -{\frac {\pi m}{r}}}$

Это можно сравнить с соответствующим выражением для вакуумного решения Шварцшильда в общей теории относительности, которое (до первого порядка по m)

${\displaystyle {\frac {\Delta \phi }{\omega _{\rm {orb}}}}\approx {\frac {6\pi m}{r}}}$

Таким образом, в теории Нордстрёма, если почти эллиптическую орбиту пересечь против часовой стрелки, длинная ось медленно вращается. по часовой стрелке, тогда как в общей теории относительности он вращает против часовой стрелки в шесть раз быстрее. В первом случае можно говорить о периастрии. отставание а во втором случае периастрион продвигать. В любой теории, приложив больше усилий, мы можем получить более общие выражения, но здесь мы ограничимся рассмотрением частного случая почти круговых орбит.

Например, согласно теории Нордстрёма, перигелия из Меркурий должен отставание со скоростью около 7 угловых секунд в столетие, тогда как согласно общей теории относительности перигелии должны продвигать со скоростью около 43 угловых секунд в столетие.

Световая задержка

Нулевые геодезические в экваториальной плоскости нашего решения удовлетворяют

${\displaystyle 0={\frac {-dt^{2}+dr^{2}}{(1+m/r)^{2}}}+r^{2}\,d\phi ^{2}}$

Рассмотрим два события на нулевой геодезической до и после точки наибольшего приближения к началу координат. ${\displaystyle R_{1},\,R,\,R_{2}}$ с ${\displaystyle R_{1},\,R_{2}\gg R}$. Мы хотим устранить ${\displaystyle \phi }$, так положите ${\displaystyle R=r\,\cos \phi }$ (уравнение прямой в полярных координатах) и продифференцируем, чтобы получить

${\displaystyle 0=-r\sin \phi \,d\phi +\cos \phi \,dr}$

Таким образом

${\displaystyle r^{2}\,d\phi ^{2}=\cot(\phi )^{2}\,dr^{2}={\frac {R^{2}}{r^{2}-R^{2}}}\,dr^{2}}$

Вставляя это в элемент линии и решая для dt, мы получаем

${\displaystyle dt\approx {\frac {1}{\sqrt {r^{2}-R^{2}}}}\;\left(r+m\,{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)\;dr}$

Таким образом, координатное время от первого события до события наибольшего сближения равно

${\displaystyle (\Delta t)_{1}=\int _{R}^{R_{1}}dt\approx {\frac {m+R_{1}}{R_{1}}}\,{\sqrt {R_{1}^{2}-R^{2}}}={\sqrt {R_{1}^{2}-R^{2}}}+m\,{\sqrt {1-(R/R_{1})^{2}}}}$

и аналогично

${\displaystyle (\Delta t)_{2}=\int _{R}^{R_{2}}dt\approx {\frac {m+R_{2}}{R_{2}}}\,{\sqrt {R_{2}^{2}-R^{2}}}={\sqrt {R_{2}^{2}-R^{2}}}+m\,{\sqrt {1-(R/R_{2})^{2}}}}$

Здесь истекшее координатное время, ожидаемое из теории Ньютона, конечно

${\displaystyle {\sqrt {R_{1}^{2}-R^{2}}}+{\sqrt {R_{2}^{2}-R^{2}}}}$

так что релятивистское запаздывание, согласно теории Нордстрёма, равно

${\displaystyle \Delta t=m\,\left({\sqrt {1-(R/R_{1})^{2}}}+{\sqrt {1-(R/R_{2})^{2}}}\right)}$

К первому порядку в малых соотношениях ${\displaystyle R/R_{1},\;R/R_{2}}$ это просто ${\displaystyle \Delta t=2m}$.

Соответствующий результат в общей теории относительности

${\displaystyle \Delta t=2m+2m\,\log \left({\frac {4\,R_{1}\,R_{2}}{R^{2}}}\right)}$

которая логарифмически зависит от малых соотношений ${\displaystyle R/R_{1},\;R/R_{2}}$. Например, в классическом эксперименте, когда, если смотреть с Земли, Венера вот-вот пройдет позади Солнце, радар сигнал, испускаемый с Земли, который касается конечности Солнца, отражается от Венеры и возвращается на Землю (снова касаясь конечности Солнца), релятивистская временная задержка составляет около 20 микросекунды согласно теории Нордстрема и около 240 микросекунд согласно общей теории относительности.

Резюме результатов

Мы можем суммировать результаты, которые мы нашли выше, в следующей таблице, в которой данные выражения представляют соответствующие приближения:

Сравнение предсказаний трех теорий гравитации

	Ньютон	Nordström	Эйнштейн
Ускорение статической тестовой частицы	м р^−2	м р^−2	м р^−2 + м^2 р^−3
Экстракулоновская приливная сила	0	м^2 р^−4 диаг (-1,1,1)	0
Радиус круговой орбиты	р = L^2 м ^−1	р = L^2 м ^−1	р = L^2 м^−1 − 3 м
Коэффициент гравитационного красного смещения	1	1 + м р ^−1	1 + м р ^−1
Угол светового изгиба	${\displaystyle \delta \phi ={\frac {2\,m}{R}}}$	0	${\displaystyle \delta \phi ={\frac {4\,m}{R}}}$
Скорость прецессии периастрии	0	${\displaystyle {\frac {\Delta \phi }{\omega _{\rm {orb}}}}=-{\frac {\pi \,m}{R}}}$	${\displaystyle {\frac {\Delta \phi }{\omega _{\rm {orb}}}}={\frac {6\,\pi \,m}{R}}}$
Временная задержка	0	${\displaystyle 2\,m}$	${\displaystyle 2\,m+2\,m\;\log \left({\frac {4\,R_{1}\,R_{2}}{R^{2}}}\right)}$

В последних четырех строках этой таблицы перечислены так называемые четыре классических теста солнечной системы релятивистских теорий гравитации. Из трех теорий, представленных в таблице, только общая теория относительности согласуется с результатами экспериментов и наблюдений в Солнечной системе. Теория Нордстрема дает правильный результат только для Эксперимент Паунда – Ребки; неудивительно, что теория Ньютона проваливает все четыре релятивистских критерия.

Вакуумная гравитационная плоская волна

В двойной нулевой карте для пространства-времени Минковского

${\displaystyle ds^{2}=2\,du\,dv+dx^{2}+dy^{2},\;\;\;-\infty <u,\,v,\,x,\,y<\infty }$

простое решение волнового уравнения

${\displaystyle 2\,\psi _{uv}+\psi _{xx}+\psi _{yy}=0}$

является ${\displaystyle \psi =f(u)}$, где f - произвольный гладкая функция. Это представляет собой плоская волна движется в направлении z. Следовательно, теория Нордстрёма допускает точное вакуумное решение

${\displaystyle ds^{2}=\exp(2f(u))\;\left(2\,du\,dv+dx^{2}+dy^{2}\right),\;\;\;-\infty <u,\,v,\,x,\,y<\infty }$

которую мы можем интерпретировать в терминах распространения плоской гравитационной волны.

Это лоренцево многообразие допускает шестимерная группа Ли изометрий, или, что то же самое, шестимерная алгебра Ли векторных полей Киллинга:

${\displaystyle \partial _{v}}$ (нулевой перевод, "противостоящий" то волновой вектор поле ${\displaystyle \partial _{u}}$)

${\displaystyle \partial _{x},\;\;\partial _{y}}$ (пространственный перенос ортогонален волновым фронтам)

${\displaystyle -y\,\partial _{x}+x\,\partial _{y}}$ (вращение вокруг оси параллельно направлению распространения)

${\displaystyle x\,\partial _{v}+u\,\partial _{x},\;\;y\,\partial _{v}+u\,\partial _{y}}$

Например, векторное поле Киллинга ${\displaystyle x\,\partial _{v}+u\,\partial _{x}}$ интегрируется для получения однопараметрического семейства изометрий

${\displaystyle (u,v,x,y)\longrightarrow (u,\;v+x\,\lambda +{\frac {u}{2}}\,\lambda ^{2},\;x+u\,\lambda ,\;y)}$

Как и в специальной теории относительности (и общей теории относительности), всегда можно изменить координаты, не нарушая формы решения, так что волна распространяется в любом направлении, поперечном ${\displaystyle \partial _{z}}$Отметим, что наша группа изометрий транзитивна на гиперповерхностях ${\displaystyle u=u_{0}}$.

По контракту, общий гравитационная плоская волна в общей теории относительности есть только пятимерная группа Ли изометрий. (В обеих теориях особые плоские волны могут иметь дополнительную симметрию.) Мы скажем немного больше о том, почему это так, чуть позже.

Принятие поля кадра

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\left(\partial _{v}+\exp(-2f)\,\partial _{u}\right)}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\left(\partial _{v}-\exp(-2f)\,\partial _{u}\right)}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{2}=\partial _{x}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}=\partial _{y}}$

мы находим, что соответствующее семейство пробных частиц инерционный (свободно падающий), так как вектор ускорения исчезает

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}=0}$

Обратите внимание: если f исчезает, это семейство становится семейством взаимно стационарных пробных частиц в плоском (Минковского) пространстве-времени. Что касается времениподобной геодезической соответствие из мировые линии полученный интегрированием подобный времени единичное векторное поле ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}}$, то тензор разложения

${\displaystyle \theta [{\vec {X}}]_{{\hat {p}}{\hat {q}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,f'(u)\,\exp(-2\,f(u))\,{\rm {diag}}(0,1,1)}$

показывает, что наши тестовые частицы расширяются или сжимаются изотропно и поперек направления распространения. Это именно то, что можно было бы ожидать от поперечного волна спина 0; поведение аналогичных семейств пробных частиц, которые сталкиваются с гравитационной плоской волной в общей теории относительности, совершенно иное, потому что они спин-2 волны. Это связано с тем, что теория гравитации Нордстрема является скалярная теория, тогда как теория гравитации Эйнштейна (общая теория относительности) тензорная теория. С другой стороны, гравитационные волны в обеих теориях равны поперечный волны. Электромагнитные плоские волны, конечно, также поперечный. В приливный тензор

${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{{\hat {p}}{\hat {q}}}={\frac {1}{2}}\,\exp(-4\,f(u))\;\left(f'(u)^{2}-f''(u)\right)\,{\rm {diag}}(0,1,1)}$

далее демонстрирует спин-0 характер плоской гравитационной волны в теории Нордстрема. (Приливный тензор и тензор разложения являются трехмерными тензорами, которые «живут» в элементах гиперплоскости, ортогональных к ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$, который в данном случае оказывается безвихревый, поэтому мы можем рассматривать эти тензоры как определенные на ортогональных гиперпространствах.)

Обсуждаемое здесь точное решение, которое мы интерпретируем как распространяющуюся гравитационную плоскую волну, дает некоторое общее представление о распространение гравитационного излучения в теории Нордстрёма, но это не дает никакого понимания поколение гравитационного излучения в этой теории. Здесь было бы естественно обсудить аналог для теории гравитации Нордстрема стандартной линеаризованной теории гравитационных волн в общей теории относительности, но мы не будем этим заниматься.

Смотрите также

• Классические теории гравитации
• Конгруэнтность (общая теория относительности)
• Гуннар Нордстрём
• Устаревшие физические теории
• Общая теория относительности

Рекомендации

• Равндал, Финн (2004). Скалярная гравитация и дополнительные измерения
• Паис, Авраам (1982). «13». Тонкий - это Господь: наука и жизнь Альберта Эйнштейна. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-280672-6.
• Лайтман, Алан П .; Press, William H .; Прайс, Ричард Х. и Теукольски, Сол А. (1975). Сборник задач по теории относительности и гравитации. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08162-X. Видеть проблема 13.2.