Гипотеза Рю – Такаянаги - Ryu–Takayanagi conjecture

В Гипотеза Рю – Такаянаги это гипотеза внутри голография который устанавливает количественную связь между энтропия запутанности из конформная теория поля и геометрия связанного анти-де Ситтер пространство-время.^[1][2] Формула характеризует «голографические экраны» в массе; то есть, он определяет, какие области объемной геометрии «ответственны за конкретную информацию в двойном CFT».^[3] Гипотеза названа в честь Синсэй Рю и Тадаши Такаянаги, которые совместно опубликовали результат в 2006 году.^[4] В результате авторы были награждены премией 2015 г. Премия "Новые горизонты в физике" за «фундаментальные идеи об энтропии в квантовой теории поля и квантовой гравитации».^[5] Формула была обобщена на ковариантный форма в 2007 году. ^[6]

Мотивация

В термодинамика черных дыр предполагает определенные отношения между энтропия черных дыр и их геометрии. В частности, формула площади Бекенштейна – Хокинга предполагает, что энтропия черной дыры пропорциональна площади ее поверхности:

${\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {k_{\text{B}}A}{4\ell _{\text{P}}^{2}}}}$

Энтропия Бекенштейна – Хокинга ${\displaystyle S_{\text{BH}}}$ является мерой информации, потерянной для внешних наблюдателей из-за наличия горизонта. Горизонт черной дыры действует как «экран», выделяющий одну из областей пространство-время (в данном случае внешняя часть черной дыры), на которую не влияет другая область (в данном случае внутренняя часть). Закон площади Бекенштейна – Хокинга гласит, что площадь этой поверхности пропорциональна энтропии информации, теряемой за ней.

Энтропия Бекенштейна – Хокинга - это утверждение о гравитационной энтропии системы; однако есть еще один тип энтропии, который важен в квантовой теории информации, а именно: запутанность (или фон Неймана) энтропия. Эта форма энтропии обеспечивает меру того, насколько далеко от чистого состояния находится данное квантовое состояние или, что то же самое, насколько оно запутано. Энтропия запутанности - полезное понятие во многих областях, таких как физика конденсированного состояния и квантовые системы многих тел. Учитывая его использование и его предполагаемое сходство с энтропией Бекенштейна – Хокинга, желательно иметь голографическое описание энтропии запутанности в терминах силы тяжести.

Голографические предварительные испытания

Основная статья: Голографический принцип

Голографический принцип гласит, что теории гравитации в данном измерении двойственны калибровочная теория в одном нижнем измерении. В AdS / CFT корреспонденция один из примеров такой двойственности. Здесь теория поля определяется на фиксированном фоне и эквивалентна квантовой теории гравитации, каждое из различных состояний которой соответствует возможной геометрии пространства-времени. Конформная теория поля часто рассматривается как обитающая на границе пространства более высоких измерений, гравитационную теорию которого она определяет. Результатом такой двойственности является словарь между двумя эквивалентными описаниями. Например, в CFT, определенном на ${\displaystyle d}$ размерный Пространство Минковского вакуумное состояние соответствует чистому пространству AdS, а тепловое состояние соответствует плоской черной дыре.^[7] Для настоящего обсуждения важно то, что тепловое состояние КТМ, определенное на ${\displaystyle d}$ размерная сфера соответствует ${\displaystyle d+1}$ мерная черная дыра Шварцшильда в пространстве AdS.

Закон об области Бекенштейна – Хокинга, утверждая, что площадь горизонта черной дыры представляет собой энтропию черной дыры, не дает достаточного микроскопического описания того, как возникает эта энтропия. Голографический принцип обеспечивает такое описание, связывая систему черной дыры с квантовой системой, которая допускает такое микроскопическое описание. В этом случае CFT имеет дискретные собственные состояния, а тепловое состояние представляет собой канонический ансамбль этих состояний. ^[7] Энтропия этого ансамбля может быть вычислена обычными средствами и дает тот же результат, что и предсказывается законом площади. Это оказывается частным случаем гипотезы Рю – Такаянаги.

Гипотеза

Рассмотрим пространственный срез ${\displaystyle \Sigma }$ пространства-времени AdS, на границе которого мы определяем дуальную КТП. Формула Рю – Такаянаги гласит:

${\displaystyle S_{A}={\frac {{\text{Area of }}\gamma _{A}}{4G}}}$

(1)

куда ${\displaystyle S_{A}}$ это энтропия запутанности CFT в некоторой пространственной подобласти ${\displaystyle A\subset \partial \Sigma }$ с его дополнением ${\displaystyle B}$, и ${\displaystyle \gamma _{A}}$ - поверхность Рю – Такаянаги в объеме. ^[1] Эта поверхность должна удовлетворять трем свойствам^[7]:

1. ${\displaystyle \gamma _{A}}$ имеет ту же границу, что и ${\displaystyle A}$.
2. ${\displaystyle \gamma _{A}}$ является гомологичный к А.
3. ${\displaystyle \gamma _{A}}$ расширяет область. Если есть несколько экстремальных поверхностей, ${\displaystyle \gamma _{A}}$ тот, у которого наименьшая площадь.

В силу свойства (3) эту поверхность обычно называют минимальная поверхность когда контекст ясен. Кроме того, свойство (1) гарантирует, что формула сохраняет некоторые свойства энтропии сцепленности, такие как ${\displaystyle S_{A}=S_{B}}$ и ${\displaystyle S_{A_{1}+A_{2}}\geq S_{A_{1}\cup A_{2}}}$. Гипотеза обеспечивает явную геометрическую интерпретацию энтропии запутанности граничной CFT, а именно как площадь поверхности в объеме.

Пример

В своей оригинальной статье Рю и Такаянаги явно демонстрируют этот результат на примере в ${\displaystyle {\text{AdS}}_{3}/{\text{CFT}}_{2}}$ где выражение для энтропии запутанности уже известно. ^[1] Для ${\displaystyle {\text{AdS}}_{3}}$ пространство радиуса ${\displaystyle R}$двойная КТМ имеет центральный заряд данный

${\displaystyle c={\frac {3R}{2G}}}$

(2)

Более того, ${\displaystyle {\text{AdS}}_{3}}$ имеет метрика

${\displaystyle ds^{2}=R^{2}(-\cosh {\rho ^{2}dt^{2}}+d\rho ^{2}+\sinh {\rho ^{2}d\theta ^{2}})}$

в ${\displaystyle (t,\rho ,\theta )}$ (по сути, стопка гиперболические диски ). Поскольку эта метрика расходится на ${\displaystyle \rho \to \infty }$, ${\displaystyle \rho }$ ограничено ${\displaystyle \rho \leq \rho _{0}}$. Этот акт навязывания максимума ${\displaystyle \rho }$ аналогичен соответствующему CFT с УФ-отсечкой. Если ${\displaystyle L}$ - длина системы CFT, в данном случае длина окружности цилиндра, рассчитанная с использованием соответствующей метрики, и ${\displaystyle a}$ - шаг решетки, имеем

${\displaystyle e^{\rho _{0}}\sim L/a}$.

В этом случае граница КТП живет в координатах ${\displaystyle (t,\rho _{0},\theta )=(t,\theta )}$. Рассмотрим фиксированный ${\displaystyle t}$ разрезаем и берем подобласть A границы как ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi l/L]}$ куда ${\displaystyle l}$ это длина ${\displaystyle A}$. В этом случае минимальную поверхность легко идентифицировать, так как именно геодезическая через балку соединяет ${\displaystyle \theta =0}$ и ${\displaystyle \theta =2\pi l/L}$. Помня об отсечении решетки, длину геодезической можно рассчитать как

${\displaystyle \cosh {(L_{\gamma _{A}}/R)}=1+2\sinh ^{2}\rho _{0}\sin ^{2}{\frac {\pi l}{L}}}$

(3)

Если предположить, что ${\displaystyle e^{\rho _{0}}>>1}$, а затем с помощью формулы Рю – Такаянаги для вычисления энтропии запутанности. Вставка длины минимальной поверхности, рассчитанной в (3) и вспоминая центральный заряд (2) энтропия запутанности определяется выражением

${\displaystyle S_{A}={\frac {R}{4G}}\log {(e^{2\rho _{0}}\sin ^{2}{\frac {\pi l}{L}})}={\frac {c}{3}}\log {(e^{\rho _{0}}\sin {\frac {\pi l}{L}})}}$

(4)

Это согласуется с результатом, рассчитанным обычным способом.^[8]

Рекомендации

1. Рю, Синсэй; Такаянаги, Тадаши (21 августа 2006 г.). «Аспекты голографической энтропии запутанности». Журнал физики высоких энергий. 2006 (8): 045. arXiv:hep-th / 0605073. Bibcode:2006JHEP ... 08..045R. Дои:10.1088/1126-6708/2006/08/045. ISSN  1029-8479.
2. Стэнфордский институт теоретической физики (2015-10-15), Гравитация и запутанность, получено 2017-05-07
3. Фуками, Масая (март 2018 г.), Введение в формулу Рю – Такаянаги (PDF), п. 2
4. Рю, Синсэй; Такаянаги, Тадаши (май 2006 г.). "Голографическое получение энтропии запутывания из AdS / CFT". Phys. Rev. Lett. 96 (18): 181602. arXiv:hep-th / 0603001. Дои:10.1103 / PhysRevLett.96.181602. PMID  16712357.
5. «Объявлены лауреаты премий за прорыв в области фундаментальной физики и наук о жизни за 2015 год». www.breakthroughprize.org. Получено 3 августа 2018.
6. Hubeny, Veronika E .; Рангамани, Мукунд; Такаянаги, Тадаши (23 июля 2007 г.). «Предложение ковариантной голографической энтропии запутанности». JHEP. 2007 (7): 062. arXiv:0705.0016. Дои:10.1088/1126-6708/2007/07/062.
7. Ван Рамсдонк, Марк (31 августа 2016 г.). «Лекции по гравитации и запутанности». Новые рубежи в полях и струнах. С. 297–351. arXiv:1609.00026. Дои:10.1142/9789813149441_0005. ISBN  978-981-314-943-4.
8. Калабрезе, Паскуале; Карди, Джон (2004-06-11). «Энтропия запутанности и квантовая теория поля». Журнал статистической механики: теория и эксперимент. P06002 (6): P06002. arXiv:hep-th / 0405152. Дои:10.1088 / 1742-5468 / 2004/06 / P06002.