Петлевое представление в калибровочных теориях и квантовой гравитации - Loop representation in gauge theories and quantum gravity

Были предприняты попытки описать калибровочные теории в терминах расширенных объектов, таких какПетли Вильсона и голономии. В представление цикла является квантовым гамильтоновым представлением калибровочных теорий в терминах петель. Цель представления цикла в контексте Ян – Миллс теория состоит в том, чтобы избежать избыточности, вводимой калибровочными симметриями Гаусса, позволяя работать непосредственно в пространстве физических состояний (калибровочно-инвариантные состояния Гаусса). Идея хорошо известна в контексте решеточной теории Янга – Миллса (см. решеточная калибровочная теория ). Попытки исследовать представление непрерывной петли были сделаны Гамбини и Триасом для канонической теории Янга – Миллса, однако возникли трудности, поскольку они представляли единичные объекты. Как мы увидим, формализм петель выходит далеко за рамки простого описания калибровочно-инвариантного типа, на самом деле это естественная геометрическая основа для рассмотрения калибровочных теорий и квантовой гравитации с точки зрения их фундаментальных физических возбуждений.

Введение Аштекар нового набора переменных (Переменные Аштекара ) изложили общую теорию относительности на том же языке, что и калибровочные теории, и позволили применить петлевую технику в качестве естественного непертурбативного описания теории Эйнштейна. В каноническая квантовая гравитация трудности с использованием представления непрерывного цикла устраняются пространственным диффеоморфизм неизменность общая теория относительности. Представление цикла также обеспечивает естественное решение ограничения пространственного диффеоморфизма, устанавливая связь между каноническая квантовая гравитация и теория узлов. Удивительно, но существовал класс состояний цикла, который обеспечивал точные (хотя бы формальные) решения исходной (плохо определенной) Аштекара. Уравнение Уиллера – ДеВитта. Таким образом, для всех уравнений канонической квантовой общей гравитации в этом представлении был идентифицирован бесконечный набор точных (хотя бы формальных) решений! Это вызвало большой интерес к подходу и в конечном итоге привело к петля квантовой гравитации (LQG).

Представление цикла нашло применение в математике. Если топологические квантовые теории поля сформулированы в терминах циклов, результирующие величины должны быть так называемыми инварианты узлов. Топологические теории поля включают только конечное число степеней свободы и поэтому точно разрешимы. В результате они предоставляют конкретные вычислимые выражения, которые являются инвариантами узлов. Это было именно понимание Эдвард Виттен^[1] кто заметил, что вычисление зависимых величин в Черн – Саймонс и других трехмерных топологических квантовых теорий поля можно было бы придумать явные аналитические выражения для инвариантов узлов. За его работу в 1990 году он был награжден Медаль Филдса. Он первый и пока единственный физик, удостоенный медали Филдса, которая часто считается высшей наградой в математике.

Калибровочная инвариантность теории Максвелла

Идея калибровочных симметрий была введена в теорию Максвелла. Уравнения Максвелла:

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}={\rho \over \epsilon _{0}}\qquad \nabla \times {\vec {B}}-\epsilon _{0}\mu _{0}{\partial {\vec {E}} \over \partial t}=\mu _{0}{\vec {J}}\qquad \nabla \times {\vec {E}}+{\partial {\vec {B}} \over \partial t}=0\qquad \nabla \cdot {\vec {B}}=0}$

куда ${\displaystyle \rho }$ - плотность заряда и ${\displaystyle {\vec {J}}}$ плотность тока. Последние два уравнения можно решить, записав поля в терминах скалярного потенциала: ${\displaystyle \phi }$, и векторный потенциал, ${\displaystyle {\vec {A}}}$:

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \phi -{\partial {\vec {A}} \over \partial t}\qquad {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}}$.

Потенциалы однозначно определяют поля, но поля не определяют однозначно потенциалы - мы можем внести изменения:

${\displaystyle \phi '=\phi +{\partial \Lambda \over \partial t}\qquad {\vec {A}}'={\vec {A}}-\nabla \Lambda }$

без воздействия на электрические и магнитные поля, где ${\displaystyle \Lambda ({\vec {x}},t)}$ является произвольной функцией пространства-времени. Это называется калибровочными преобразованиями. Есть изящное релятивистское обозначение: калибровочное поле

${\displaystyle A^{\mu }=(\phi ,{\vec {A}})}$

и приведенные выше калибровочные преобразования читаются так:

${\displaystyle {A^{\mu }}'=A^{\mu }+\partial ^{\mu }\Lambda }$.

Вводится так называемый тензор напряженности поля:

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$

которая, как легко показать, инвариантна относительно калибровочных преобразований. В компонентах

${\displaystyle F^{0i}=E^{i},\qquad \epsilon ^{ijk}F^{jk}=B^{i}}$.

Безисточниковое действие Максвелла определяется следующим образом:

${\displaystyle S=-{1 \over 2}\int d^{4}x{\Big (}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }{\Big )}}$.

Возможность изменять калибровочный потенциал в разных точках пространства и времени (путем изменения ${\displaystyle \Lambda ({\vec {x}},t)}$) без изменения физики называется локальной инвариантностью. Электромагнитная теория обладает простейшей локальной калибровочной симметрией, называемой ${\displaystyle U(1)}$ (видеть унитарная группа ). Теория, демонстрирующая локальную калибровочную инвариантность, называется калибровочной теорией. Чтобы сформулировать другие калибровочные теории, мы выворачиваем приведенные выше рассуждения наизнанку. Это тема следующего раздела.

Теории связи и калибровки

Связь и теория Максвелла

Из квантовой механики мы знаем, что если мы заменим волновую функцию, ${\displaystyle \psi (x)}$, описывая электронное поле формулой

${\displaystyle \psi '(x)=\exp(i\theta )\psi (x)}$

что он оставляет физические предсказания неизменными. Мы рассматриваем наложение локальной инвариантности на фазу электронного поля,

${\displaystyle \psi '(x)=\Omega \psi (x)=\exp(i\theta (x))\psi (x)}$

Проблема в том, что производные от ${\displaystyle \psi (x)}$ не ковариантны при этом преобразовании:

${\displaystyle \partial _{\mu }(\exp(i\theta (x))\psi (x))=\Omega \partial _{\mu }\psi (x)+\partial _{\mu }\Omega \psi (x)}$.

Чтобы сократить второй нежелательный член, вводится новый оператор производной ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }}$ что ковариантно. Строить ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }}$, вводится новое поле, связь ${\displaystyle A_{\mu }}$:

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+igA_{\mu }(x)}$.

потом

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )'=\partial _{\mu }\psi '+igA_{\mu }'\psi '=\Omega \partial _{\mu }\psi +(\partial \Omega )\psi +igA_{\mu }'\Omega \psi }$

Период, термин ${\displaystyle \partial _{\mu }\Omega }$ точно отменяется требованием преобразования поля соединения как

${\displaystyle A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+{i \over g}[\partial _{\mu }\Omega (x)]\Omega ^{-1}(x)\quad Eq1.}$.

Тогда у нас есть это

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )'=\Omega {\mathcal {D}}_{\mu }\psi }$.

Обратите внимание, что ${\displaystyle Eq1}$ эквивалентно

${\displaystyle A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+{1 \over g}\partial _{\mu }\theta (x)}$

что выглядит так же, как калибровочное преобразование калибровочного потенциала теории Максвелла. Можно построить инвариантное действие для самого поля связи. Нам нужно действие, которое имеет только две производные (поскольку действия с более высокими производными не унитарны). Определите количество:

${\displaystyle F_{\mu \nu }={-i \over g}[{\mathcal {D}}_{\mu },{\mathcal {D}}_{\mu }]={-i \over g}[\partial _{\mu }+igA_{\mu }(x),\partial _{\nu }+igA_{\nu }(x)]}$

${\displaystyle ={-i \over g}{\Big (}[\partial _{\mu },\partial _{\nu }]+ig(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })-g^{2}[A_{\mu },A_{\nu }]{\Big )}}$

${\displaystyle =\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\nu }}$.

Уникальное действие только с двумя производными определяется выражением:

${\displaystyle S=-{\frac {1}{2}}\int d^{4}x{\Big (}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }{\Big )}}$.

Следовательно, можно вывести электромагнитную теорию из аргументов, основанных исключительно на симметрии.

Связность и калибровочная теория Янга-Миллса

Теперь мы обобщим приведенные выше рассуждения на общие калибровочные группы. Один начинается с генераторов некоторых Алгебра Ли:

${\displaystyle [T_{i},T_{j}]=if^{ijk}T^{k}}$

Пусть существует фермионное поле, преобразующееся как

${\displaystyle \mathbf {\Psi } '\mapsto {\hat {\Omega }}(x)\mathbf {\Psi } (x)=\exp(i\theta ^{i}(x)T^{i})\mathbf {\Psi } (x)}$

Снова производные от ${\displaystyle \mathbf {\Psi } (x)}$ не ковариантны относительно этого преобразования. Введем ковариантную производную

${\displaystyle \mathbf {\mathcal {D}} _{\mu }=\mathbf {I} \partial _{\mu }+ig\mathbf {A} _{\mu }(x)}$

с полем связи, заданным

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)=A_{\mu }^{i}(x)T^{i}}$

Мы требуем, чтобы ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)}$ преобразуется как:

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }'(x)={\hat {\Omega }}\mathbf {A} _{\mu }(x){\hat {\Omega }}^{-1}+{i \over g}{\hat {\Omega }}(\partial _{\mu }{\hat {\Omega }}^{-1})}$.

Определим оператор напряженности поля

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }=-{i \over g}[\mathbf {\mathcal {D}} _{\mu },\mathbf {\mathcal {D}} _{\nu }]=\partial _{\mu }\mathbf {A} _{\nu }-\partial _{\nu }\mathbf {A} _{\mu }+ig[\mathbf {A} _{\mu },\mathbf {A} _{\nu }]=(\partial _{\mu }A_{\nu }^{i}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{i}+gf^{ijk}A_{\mu }^{j}A_{\nu }^{k})T^{i}}$.

В качестве ${\displaystyle \mathbf {\mathcal {D}} _{\mu }}$ ковариантно, это означает, что ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{i}}$ тензор также ковариантен:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }\mapsto \mathbf {F} _{\mu \nu }'={\hat {\Omega }}\mathbf {F} _{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1}}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }}$ инвариантен относительно калибровочных преобразований, только если ${\displaystyle {\hat {\Omega }}}$ является скаляром, то есть только в случае электромагнетизма.

Теперь мы можем построить инвариантное действие из этого тензора. Снова нам нужно действие, которое имеет только две производные. Самый простой выбор - след коммутатора:

${\displaystyle \operatorname {Tr} ({\hat {\Omega }}\mathbf {F} _{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1}{\hat {\Omega }}\mathbf {F} ^{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1})=\operatorname {Tr} (\mathbf {F} _{\mu \nu }\mathbf {F} ^{\mu \nu })}$

Уникальное действие только с двумя производными определяется выражением:

${\displaystyle S=-{1 \over 2}\int d^{4}xTr(\mathbf {F} _{\mu \nu }\mathbf {F} ^{\mu \nu })=-{1 \over 2}\int d^{4}x\operatorname {Tr} {\Big (}F_{\mu \nu }^{i}T^{j}F_{j}^{\mu \nu }T^{j}{\Big )}}$

Это действие теории Янга-Миллса.

Петлевое представление теории Максвелла

Мы рассматриваем изменение представления в квантовой калибровочной теории Максвелла. Идея состоит в том, чтобы ввести базис состояний, помеченных петлями ${\displaystyle \mid \gamma \rangle }$ чей внутренний продукт с состояниями соединения задается

${\displaystyle \langle A\mid \gamma \rangle =W(\gamma )=\exp \left[ie\int _{\gamma }dy^{\alpha }A_{\alpha }(y)\right]}$

Функционал цикла ${\displaystyle W(\gamma )}$ петля Вильсона для абелевой ${\displaystyle U(1)}$ дело.

Петлевое представление теории Янга – Миллса.

Мы рассматриваем для простоты (и поскольку позже мы увидим, что это соответствующая калибровочная группа в LQG) ${\displaystyle SU(2)}$ Теория Янга – Миллса в четырех измерениях. Полевая переменная непрерывной теории есть ${\displaystyle SU(2)}$ соединение (или измеритель потенциала) ${\displaystyle A_{\mu }^{i}(x)}$, куда ${\displaystyle i}$ индекс в Алгебра Ли из ${\displaystyle SU(2)}$. Мы можем написать для этого поля

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)=A_{\mu }^{i}(x)\tau _{i}}$

куда ${\displaystyle \tau _{i}}$ являются ${\displaystyle su(2)}$ генераторы, то есть Матрицы Паули умножается на ${\displaystyle i/2}$. обратите внимание, что в отличие от теории Максвелла, связи ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)}$ матричнозначны и не коммутируют, т.е. являются неабелевыми калибровочными теориями. Мы должны учитывать это при определении соответствующего варианта голономии для ${\displaystyle SU(2)}$ Теория Янга – Миллса.

Сначала опишем квантовую теорию в терминах переменной связи.

Представление соединения

В представлении соединения переменная конфигурации ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ и его сопряженный импульс - (уплотненная) триада ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$. Естественно рассматривать волновые функции ${\displaystyle \Psi (A_{a}^{i})}$. Это известно как представление соединения. Канонические переменные повышаются до квантовых операторов:

${\displaystyle {\hat {A}}_{a}^{i}\Psi [A]=A_{a}^{i}\Psi [A]}$

(аналогично позиционному представлению ${\displaystyle {\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$) и триады являются функциональными производными,

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{a}^{i}\Psi [A]=-i{\delta \Psi [A] \over \delta A_{a}^{i}}}$

(аналогично ${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i{d\psi (q) \over dq}}$)

Голономия и петля Вильсона

Вернемся к классической теории Янга – Миллса. Калибровочно-инвариантную информацию теории можно закодировать в терминах "петлевых" переменных.

Нам нужно понятие голономия. Голономия - это мера того, насколько начальные и конечные значения спинора или вектора отличаются после параллельный транспорт по замкнутому контуру; это обозначено

${\displaystyle h_{\gamma }[A]}$

Знание голономий эквивалентно знанию связи с точностью до калибровочной эквивалентности. Холономии также могут быть связаны с ребром; по закону Гаусса они преобразуются как

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \beta }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \beta }(y).}$

Для замкнутого контура ${\displaystyle x=y}$ если мы возьмем след этого, то есть положив ${\displaystyle \alpha =\beta }$ и суммируя, получаем

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \alpha }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \alpha }(x)=[U_{\sigma \alpha }(x)U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)](h_{e})_{\gamma \sigma }=\delta _{\sigma \gamma }(h_{e})_{\gamma \sigma }=(h_{e})_{\gamma \gamma }}$

или же

${\displaystyle \operatorname {Tr} h'_{\gamma }=\operatorname {Tr} h_{\gamma }.}$

Таким образом, след голономии вокруг замкнутого контура калибровочно инвариантен. Обозначается

${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$

и называется петлей Вильсона. Явный вид голономии имеет вид

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp {\Big \{}-\int _{\gamma _{0}}^{\gamma _{1}}\,ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}{\Big \}}}$

куда ${\displaystyle \gamma }$ кривая, по которой оценивается голономия, и ${\displaystyle s}$ - параметр вдоль кривой, ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ обозначает факторы упорядочения путей для меньших значений ${\displaystyle s}$ появляются слева, и ${\displaystyle T_{i}}$ матрицы, удовлетворяющие ${\displaystyle su(2)}$ алгебра

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T^{k}.\,}$

В Матрицы Паули удовлетворяют вышеуказанному соотношению. Оказывается, существует бесконечно больше примеров наборов матриц, удовлетворяющих этим соотношениям, где каждый набор включает ${\displaystyle (N+1)\times (N+1)}$ матрицы с ${\displaystyle N=1,2,3,\dots }$, и где ни один из них не может быть рассмотрен как "разложенный" на два или более примеров более низкого измерения. Их называют разными неприводимые представления из ${\displaystyle su(2)}$ алгебра. Наиболее фундаментальным представлением являются матрицы Паули. Голономия обозначается полуцелым числом ${\displaystyle N/2}$ в соответствии с используемым неприводимым представлением.

Теорема Джайлза о восстановлении калибровочных потенциалов из луп Вильсона

Важной теоремой о калибровочных теориях Янга – Миллса является теорема Джайлза, согласно которой, если дать след голономии связности для всех возможных петель на многообразии, можно, в принципе, восстановить всю калибровочно-инвариантную информацию связности .^[2] То есть петли Вильсона составляют основу калибровочно-инвариантных функций связности. Этот ключевой результат является основой для представления петель для калибровочных теорий и гравитации.

Преобразование цикла и представление цикла

Использование Петли Вильсона явно решает калибровочную связь Гаусса. Поскольку петли Вильсона образуют базис, мы можем формально разложить любую калибровочно-инвариантную функцию Гаусса как

${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]W_{\gamma }[A]}$.

Это называется циклическим преобразованием. Мы можем увидеть аналогию с переходом на импульсное представление в квантовой механике. Есть основа состояний ${\displaystyle \exp(ikx)}$ помеченный числом ${\displaystyle k}$ и один расширяется

${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx).}$

и работает с коэффициентами разложения ${\displaystyle \psi (k)}$.

Преобразование обратного цикла определяется как

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]W_{\gamma }[A].}$

Это определяет представление цикла. Учитывая оператора ${\displaystyle {\hat {O}}}$ в представлении соединения,

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A],\qquad {\text{Eq 1}}}$

следует определить соответствующий оператор ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ на ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$ в представлении цикла через,

${\displaystyle \Phi [\gamma ]={\hat {O}}'\Psi [\gamma ],\qquad {\text{Eq 2}}}$

куда ${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$ определяется обычным обратным преобразованием цикла,

${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]W_{\gamma }[A].\qquad {\text{Eq 3}}}$

Формула преобразования, задающая действие оператора ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ на ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$ с точки зрения действия оператора ${\displaystyle {\hat {O}}}$ на ${\displaystyle \Psi [A]}$ затем получается приравниванием R.H.S. из ${\displaystyle Eq\;2}$ с R.H.S. из ${\displaystyle Eq\;3}$ с ${\displaystyle Eq\;1}$ заменен на ${\displaystyle Eq\;3}$, а именно

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]W_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A],}$

или же

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }W_{\gamma }[A])\Psi [A],}$

Посредством чего ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ мы имеем в виду оператора ${\displaystyle {\hat {O}}}$ но с обратным порядком множителей (вспомните из простой квантовой механики, где произведение операторов меняется на обратное при сопряжении). Мы оцениваем действие этого оператора в цикле Вильсона как вычисление в представлении соединения и перестраиваем результат как манипуляцию исключительно в терминах циклов (следует помнить, что при рассмотрении действия в цикле Вильсона следует выбрать желаемый оператор. преобразовать с обратным порядком множителя к тому, который выбран для его воздействия на волновые функции ${\displaystyle \Psi [A]}$).

Петлевое представление квантовой гравитации

Основные статьи: Голономия, Петля Вильсона, и Узел инвариантный

Переменные Аштекара – Барберо канонической квантовой гравитации

Вступление к Переменные Аштекара изложить общую теорию относительности на том же языке, что и калибровочные теории. В частности, неспособность иметь хороший контроль над пространством решений закона Гаусса и ограничениями пространственного диффеоморфизма заставила Ровелли и Смолина рассмотреть новое представление - представление петли.^[3]

Чтобы справиться с ограничением пространственного диффеоморфизма, нам нужно перейти к представлению цикла. Приведенные выше рассуждения дают физический смысл оператора ${\displaystyle {\hat {O}}'}$. Например, если ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ соответствует пространственному диффеоморфизму, то это можно рассматривать как сохранение поля связи ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$ где он находится при выполнении пространственного диффеоморфизма на ${\displaystyle \gamma }$ вместо. Следовательно, смысл ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ является пространственным диффеоморфизмом на ${\displaystyle \gamma }$, аргумент ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$.

В представлении цикла мы можем затем решить ограничение пространственного диффеоморфизма, рассматривая функции петель ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$ инвариантные относительно пространственных диффеоморфизмов петли ${\displaystyle \gamma }$. То есть мы строим то, что математики называют инварианты узлов. Это открыло неожиданную связь между теория узлов и квантовая гравитация.

Петлевое представление и собственные функции геометрических квантовых операторов

Самая простая геометрическая величина - это площадь. Выберем координаты так, чтобы поверхность ${\displaystyle \Sigma }$ характеризуется ${\displaystyle x^{3}=0}$. Площадь малого параллелограмма поверхности ${\displaystyle \Sigma }$ это произведение длины каждой стороны, умноженное на ${\displaystyle \sin \theta }$ куда ${\displaystyle \theta }$ угол между сторонами. Скажем, одно ребро задается вектором ${\displaystyle {\vec {u}}}$ а другой ${\displaystyle {\vec {v}}}$ тогда,

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|\sin \theta ={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )}}\\[6pt]&={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})^{2}}}\end{aligned}}}$

Отсюда получаем площадь поверхности ${\displaystyle \Sigma }$ быть предоставленным

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }\,dx^{1}\,dx^{2}{\sqrt {\det \;q^{(2)}}}}$

куда ${\displaystyle \det q^{(2)}=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}}$ и - определитель метрики, индуцированной на ${\displaystyle \Sigma }$. Это можно переписать как

${\displaystyle \det \;q^{(2)}={\epsilon ^{3ab}\epsilon ^{3cd}q_{ac}q_{bc} \over 2}.}$

Стандартная формула для обратной матрицы:

${\displaystyle q^{ab}={\epsilon ^{bcd}\epsilon ^{aef}q_{ce}q_{df} \over 2!\det(q)}}$

Обратите внимание на сходство между этим и выражением для ${\displaystyle \det q^{(2)}}$. Но в переменных Аштекар мы имеем ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}}$. Следовательно,

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }\,dx^{1}\,dx^{2}{\sqrt {{\tilde {E}}_{i}^{3}{\tilde {E}}^{3i}}}.}$

По правилам канонического квантования мы должны продвигать триады ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{3}}$ квантовым операторам,

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{i}^{3}\sim {\delta \over \delta A_{3}^{i}}.}$

Получается, что площадь ${\displaystyle A_{\Sigma }}$ может быть повышен до хорошо определенного квантового оператора, несмотря на то, что мы имеем дело с произведением двух функциональных производных, и, что еще хуже, нам приходится бороться с квадратным корнем.^[4] Положив ${\displaystyle N=2J}$, мы говорим о том, чтобы быть в J-е представление. Отметим, что ${\displaystyle \sum _{i}T^{i}T^{i}=J(J+1)1}$. Эта величина важна в окончательной формуле для площади спектра. Мы просто формулируем результат ниже:

${\displaystyle {\hat {A}}_{\Sigma }W_{\gamma }[A]=8\pi \ell _{Planck}^{2}\beta \sum _{I}{\sqrt {j_{I}(j_{I}+1)}}W_{\gamma }[A]}$

где сумма ведется по всем ребрам ${\displaystyle I}$ петли Вильсона, протыкающей поверхность ${\displaystyle \Sigma }$.

Формула объема области ${\displaystyle R}$ дан кем-то

${\displaystyle V=\int _{R}d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \over 6}\int _{R}dx^{3}{\sqrt {\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}}}.}$

Квантование объема происходит так же, как и с площадью. Когда мы берем производную, и каждый раз, когда мы это делаем, мы опускаем касательный вектор ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$, когда оператор объема действует на непересекающиеся лупы Вильсона, результат исчезает. Следовательно, квантовые состояния с ненулевым объемом должны включать пересечения. Учитывая, что в формуле для объема берется антисимметричное суммирование, нам потребуются как минимум пересечения с тремя несимметричнымикопланарный линий. На самом деле оказывается, что для того, чтобы оператор объема не обращался в нуль, нужны как минимум четырехвалентные вершины.

Тождества Мандельштама: su (2) Янга – Миллса

Теперь рассмотрим петли Вильсона с пересечениями. Мы предполагаем вещественное представление, в котором калибровочная группа ${\displaystyle SU(2)}$. Петли Вильсона представляют собой полную основу, поскольку существуют тождества, связывающие разные петли Вильсона. Они возникают из-за того, что лупы Вильсона основаны на матрицах (голономии) и эти матрицы удовлетворяют тождествам, так называемым тождествам Мандельштама (см. Переменные Мандельштама ). Учитывая любые два ${\displaystyle SU(2)}$ матрицы ${\displaystyle \mathbb {A} }$ и ${\displaystyle \mathbb {B} }$ это легко проверить,

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} )\operatorname {Tr} (\mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )+\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} ^{-1}).}$

Это означает, что с учетом двух петель ${\displaystyle \gamma }$ и ${\displaystyle \eta }$ которые пересекаются, у нас будет,

${\displaystyle W_{\gamma }[A]W_{\eta }[A]=W_{\gamma \circ \eta }[A]+W_{\gamma \circ \eta ^{-1}}[A]}$

Посредством чего ${\displaystyle \eta ^{-1}}$ мы имеем в виду петлю ${\displaystyle \eta }$ пройдено в обратном направлении и ${\displaystyle \gamma \circ \eta }$ означает цикл, полученный путем обхода цикла ${\displaystyle \gamma }$ а затем вместе ${\displaystyle \eta }$. См. Рисунок ниже. Это называется тождеством Мандельштама второго рода. Идентичность Мандельштама первого рода. ${\displaystyle W(\gamma _{1}\circ \gamma _{2})=W(\gamma _{2}\circ \gamma _{1})}$. Спиновые сети представляют собой определенные линейные комбинации пересекающихся петель Вильсона, предназначенные для решения проблемы избыточной полноты, вводимой тождествами Мандельштама.

Графическое изображение идентичности Мандестама, относящейся к разным Петли Вильсона.

Спиновые состояния сети

Фактически спиновые сети составляют основу для всех калибровочно-инвариантных функций, которые минимизируют степень избыточной полноты петлевого базиса, а для трехвалентных пересечений полностью исключают ее.

Как упоминалось выше, голономия сообщает вам, как распространять получастицы с тестовым спином. Состояние спиновой сети присваивает амплитуду набору спиновых получастиц, прослеживающих путь в пространстве, сливаясь и разделяясь. Их описывают спиновые сети ${\displaystyle \gamma }$: ребра помечены спинами вместе с "спинами" в вершинах, которые являются предписанием для суммирования различных способов изменения маршрута спинов. Сумма перемаршрутизации выбирается как таковая, чтобы сделать форму сплетника инвариантной относительно калибровочных преобразований Гаусса.

Единственность представления цикла в LQG

Теоремы, устанавливающие единственность представления петель, как это определено Аштекаром и др. (т.е. некоторая конкретная реализация гильбертова пространства и связанных с ним операторов, воспроизводящих правильную алгебру петель - реализация, которую использовали все) была дана двумя группами (Левандовски, Околоу, Зальманн и Тиман)^[5] и (Кристиан Флейшхак).^[6] До того, как этот результат был установлен, не было известно, могут ли быть другие примеры гильбертовых пространств с операторами, использующими ту же алгебру петель, другие реализации, не эквивалентные той, которая использовалась до сих пор.

Теория узлов и петли в топологической теории поля

Распространенный метод описания узла (или связь, которые представляют собой узлы из нескольких запутанных друг с другом компонентов) - рассматривать его спроецированное изображение на плоскость, называемую диаграммой узлов. Любой данный узел (или звено) можно нарисовать разными способами, используя диаграмму узлов. Следовательно, фундаментальная проблема в теории узлов - определить, когда два описания представляют один и тот же узел. Учитывая диаграмму узлов, каждый пытается найти способ присвоить ей инвариантный узел, иногда многочлен, называемый многочленом узла. Две диаграммы узлов с разными полиномами, порожденные одной и той же процедурой, обязательно соответствуют разным узлам. Однако, если многочлены одинаковы, это не может означать, что они соответствуют одному и тому же узлу. Чем лучше многочлен распознает узлы, тем он мощнее.

В 1984 году Джонс ^[7] объявил об открытии нового инварианта связи, что вскоре привело к ошеломляющему обилию обобщений. Он нашел новый многочлен узла, Многочлен Джонса. В частности, это инвариант ориентированного узла или звена, который присваивает каждому ориентированному узлу или звену многочлен с целыми коэффициентами.

В конце 1980-х Виттен ввел термин «топологическая квантовая теория поля» для определенного типа физической теории, в которой математические ожидания наблюдаемых величин инвариантны относительно диффеоморфизмов.

Виттен ^[8] дал эвристический вывод многочлена Джонса и его обобщений из Теория Черна – Саймонса. Основная идея заключается в том, что ожидаемые значения вакуума луп Вильсона в теории Черна – Саймонса являются инвариантами зацепления из-за диффеоморфизм-инвариантности теории. Однако для вычисления этих математических ожиданий Виттену нужно было использовать соотношение между теорией Черна – Саймонса и конформная теория поля известный как Модель Весса – Зумино – Виттена. (или модель WZW).

Рекомендации

1. Виттен, Эдвард (1989). «Квантовая теория поля и многочлен Джонса». Коммуникации по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 121 (3): 351–399. Дои:10.1007 / bf01217730. ISSN  0010-3616.
2. Джайлз, Р. (1981-10-15). «Восстановление калибровочных потенциалов по петлям Вильсона». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 24 (8): 2160–2168. Дои:10.1103 / Physrevd.24.2160. ISSN  0556-2821.
3. Ровелли, Карло; Смолин, Ли (1988-09-05). «Теория узлов и квантовая гравитация». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 61 (10): 1155–1158. Дои:10.1103 / Physrevlett.61.1155. ISSN  0031-9007.
4. Например, см. Раздел 8.2. Первый курс петлевой квантовой гравитации, Гамбини Р. и Пуллин Дж. Опубликовано Oxford University Press 2011.
5. Левандовски, Ежи; Околув, Анджей; Зальманн, Ханно; Тиман, Томас (22 августа 2006 г.). "Единственность состояний, инвариантных к диффеоморфизму на алгебрах голономии – потоков". Коммуникации по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 267 (3): 703–733. arXiv:gr-qc / 0504147. Дои:10.1007 / s00220-006-0100-7. ISSN  0010-3616.
6. Флейшхак, Кристиан (11 августа 2006 г.). «Неприводимость алгебры Вейля в петлевой квантовой гравитации». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 97 (6): 061302. Дои:10.1103 / Physrevlett.97.061302. ISSN  0031-9007.
7. В. Джонс, Полиномиальный инвариант для узлов с помощью алгебр фон Неймана, перепечатано в книге «Новые разработки в теории узлов., изд. Т. Коно, World Scientific, Сингапур, 1989.
8. Виттен, Э. (1989). «Квантовая теория поля и многочлен Джонса». Коммутации в математической физике. 121: 351–399. МИСТЕР  0990772.